Efficient strain-space hyperreduction in large-deformation solid mechanics

技术摘要：大变形固体力学中高效的应变空间超缩减技术

问题陈述
在应变空间内运行的模型降阶（MOR）技术最近在计算均质化领域，特别是在代表性体积单元（RVE）方面，展现出了卓越的性能。然而，这些技术的应用很大程度上局限于这一特定背景。将这些技术扩展到通用的、大变形固体力学问题面临着显著挑战。与基于位移的方法不同，应变空间方法无法直接施加狄利克雷（Dirichlet）边界条件（BCs），因为边界处的积分点应变并不能显式已知，且边界值通常是以位移而非应变的形式给定的。此外，标准的应变空间方法通常依赖于周期性边界条件，这并不适用于具有任意边界值的宏观尺度问题。

方法论
作者提出了一个通用的框架，旨在将应变空间 MOR 应用于具有任意参数化狄利克雷边界条件的问题。该核心方法论包含三个组成部分：

1. 通过提升（Lifting）处理边界： 为了满足非零狄利克雷边界条件，作者采用了一种提升策略。首先离线计算一个针对每个独立边界单位位移值的边界一致参考场。实际解随后被分解为该参考场（由实际边界值缩放）与一个“波动场（fluctuation field）”。通过构造，该波动场在所有狄利克雷边界处消失，从而使得（通过本征正交分解 POD 得到的）降阶基能够预先满足边界条件。这种方法将非齐次边界条件转化为针对降阶求解器的齐次边界条件。

2. 应变空间公式化： 本文将三种特定的超缩减技术推广到了这一新设置中：

   • 应变空间 ECM（经验求积法）： 被重新构建以直接在 Gauss 点处进行降阶积分，绕过了单元级的操作。
   • 应变空间 E3C（经验修正簇求积法）： 被推广到任意力学问题。E3C 在应变空间内优化积分点和权重，允许这些点与原始网格的 Gauss 点不同。
   • 应变空间 EMSL（经验材料采样与线性化）： 扩展到了 RVE 之外。EMSL 在簇级期望平均应变周围对材料行为进行线性化。与近似积分精确材料律的其他方法不同，EMSL 精确积分了一个簇级的线性近似，从而在每个载荷步产生一个仿射问题，在在线阶段无需迭代的牛顿-拉夫逊（Newton-Raphson）求解器。

3. 对比基准： 这些应变空间方法通过与标准的位移空间能量守恒采样与加权（ECSW）方法进行基准测试，后者作为一个稳健且保持结构的基准。

主要贡献

• 应变空间 MOR 的泛化： 本研究成功地将应变空间 MOR 技术（ECM、E3C、EMSL）从计算均质化扩展到了具有任意狄利克雷边界条件的一般大变形固体力学问题。
• 新型边界处理： 引入了基于提升的波动场公式，能够在应变空间中施加任意边界条件，而无需边界应变数据。
• 全面的基准测试： 作者通过两个涉及逆参数估计、变化的材料参数以及复杂加载路径（拉伸、剪切和混合加载）的超弹性案例，对应变空间与位移空间超缩减进行了严格的比较。

结果
这些方法在两个带有椭圆孔的超弹性板问题上进行了测试：

1. 示例 1（中等变形）： 受拉伸载荷的板，应变高达 20%。
2. 示例 2（大变形与复杂加载）： 同一几何形状经受拉伸（高达 50%）、剪切（高达 25%）和混合加载，使用了更细的网格和更高的计算成本。

性能发现：

• 精度与运行时间： 在两个示例中，应变空间方法在精度与运行时间的权衡方面始终优于位移空间的 ECSW。
• 加速比：
  • E3C： 与全阶模型相比，实现了约 10,000 倍（示例 1）和 30,000 倍（示例 2）的加速，同时保持了极高的精度（例如，误差 <1%）。当使用足够的积分点时，E3C 在给定的计算预算下通常提供了最高的精度。
  • EMSL： 展示了卓越的运行效率，实现了高达 100,000 倍（示例 1）和 300,000 倍（示例 2）的加速。当在线和离线预算非常有限时，EMSL 表现出色，在速度上往往优于 E3C，但在高度非线性机制下，其精度有时会比使用许多积分点的 E3C 略低。
  • ECM： 表现优于 ECSW，但在所测试的具体指标中通常落后于 E3C 和 EMSL。
• 离线成本： 虽然 E3C 由于迭代优化而具有更昂贵的离线训练阶段，但作者指出这是可以接受的，且显著低于生成训练数据所需的时间。EMSL 的离线成本最低。

意义与主张
本文声称，所提出的方法论证明了在计算均质化之外开展应变空间 MOR 研究的合理性。作者强调，这些技术提供了：

• 卓越的效率： 在保持高精度的同时，实现了运行时间的剧烈缩减（数个数量级）。
• 非侵入性： 这些方法仅需要位移、应变和应力数据（易于从黑盒求解器中提取）以及一个材料程序。它们绕过了单元级操作，并且不需要了解离散化细节（如单元类型）或残差向量。
• 适用性： 成功处理任意狄利克雷边界条件消除了将这些高效技术应用于宏观尺度结构问题的重大障碍。

作者总结道，尽管对于高度非线性问题（如弹塑性）以及 EMSL 中簇级应变的估计仍存在挑战，但所展示的性能表明，这些方法可以为目前计算成本过高的控制、优化和材料模型拟合等工程应用提供可能。