Efficient strain-space hyperreduction in large-deformation solid mechanics

Résumé Technique : Hyperréduction de l'espace des déformations efficace en mécanique des solides à grandes déformations

Énoncé du Problème
Les techniques de Réduction de Modèle d'Ordre (MOR) opérant dans l'espace des déformations ont récemment démontré des performances supérieures en homogénéisation computationnelle, particulièrement pour les Volumes Élémentaires Représentatifs (VER). Cependant, leur application est restée largement confinée à ce contexte spécifique. L'extension de ces techniques à des problèmes généraux de mécanique des solides à grandes déformations présente des défis significatifs. Contra Chapiment aux formulations basées sur le déplacement, les méthodes basées sur l'espace des déformations ne peuvent pas imposer directement des conditions limites (CL) de Dirichlet car les déformations aux points d'intégration à la frontière ne sont pas explicitement connues, et les valeurs aux limites sont typiquement prescrites sous forme de déplacements, et non de déformations. De plus, les approches classiques de l'espace des déformations reposent souvent sur des CL périodiques, lesquelles ne sont pas applicables aux problèmes à l'échelle macroscopique avec des valeurs limites arbitraires.

Méthodologie
Les auteurs proposent un cadre généralisé pour appliquer la réduction de modèle (MOR) de l'espace des déformations à des problèmes de CL de Dirichlet arbitraires et paramétrés. La méthodologie centrale comprend trois composantes principales :

1. Gestion des Limites via le Levé (Lifting) : Pour satisfaire les CL de Dirichlet non nulles, les auteurs emploient une stratégie de levée. Un champ de référence cohérent avec la frontière est calculé hors ligne pour des valeurs de déplacement unitaires à chaque frontière indépendante. La solution réelle est ensuite décomposée en ce champ de référence (mis à l'échelle par les valeurs limites réelles) et un « champ de fluctuation ». Le champ de fluctuation s'annule à toutes les frontières de Dirichlet par construction, permettant à la base réduite (dérivée de la Décomposition en Modes Propres, POD) de satisfaire les CL a priori. Cette approche transforme les CL inhomogènes en CL homogènes pour le solveur réduit.

2. Formulations de l'Espace des Déformations : L'article généralise trois techniques spécifiques d'hyperréduction à ce nouveau cadre :

   • ECM (Méthode de Cubature Empirique) de l'Espace des Déformations : Reformulée pour effectuer l'intégration réduite directement aux points de Gauss, contournant ainsi les opérations au niveau de l'élément.
   • E3C (Cubature par Grappes Empiriquement Corrigée) de l'Espace des Déformations : Généralisée à des problèmes mécaniques arbitraires. L'E3C optimise les points d'intégration et les poids dans l'espace des déformations, permettant à ceux-ci d'être distincts des points de Gauss de la grille d'origine.
   • EMSL (Échantillonnage de Matériau et Linéarisation Empirique) de l'Espace des Déformations : Étendue au-delà des VER. L'EMSL linéarise le comportement du matériau autour des déformations moyennes par grappe. Contrairement aux autres méthodes qui intègrent approximativement une loi de comportement exacte, l'EMSL intègre exactement une approximation linéaire par grappe, ce qui aboutit à un problème affine par incrément de charge ne nécessitant pas de solveur Newton-Raphson itératif durant la phase en ligne.

3. Base de Comparaison : Ces méthodes de l'espace des déformations sont évaluées par rapport à la méthode standard de l'Échantillonnage et de la Pondération Conservatrice de l'Énergie (ECSW) basée sur le déplacement, qui sert de base robuste et respectueuse de la structure.

Contributions Clés

• Généralisation de la MOR de l'Espace des Déformations : Ce travail étend avec succès les techniques de MOR de l'espace des déformations (ECM, E3C, EMSL) de l'homogénéisation computationnelle à la mécanique des solides à grandes déformations avec des CL de Dirichlet arbitraires.
• Traitement Novel des Limites : L'introduction d'une formulation de champ de fluctuation basée sur le levée permet d'imposer des conditions limites de Dirichlet arbitraires dans l'espace des déformations sans nécessiter de données de déformation aux limites.
• Évaluation Comparative Exhaustive : Les auteurs fournissent une comparaison rigoureuse entre l'ECSW de l'espace des déplacements et les méthodes de l'espace des déformations sur deux exemples hyperélastiques impliquant l'estimation inverse de paramètres, des variations de paramètres de matériaux et des chemins de chargement complexes (traction, cisaillement et mixte).

Résultats
Les méthodes ont été testées sur deux problèmes de plaques hyperélastiques avec des trous elliptiques :

1. Exemple 1 (Déformation Modérée) : Une plaque sous chargement de traction avec jusqu'à 20 % de déformation.
2. Exemple 2 (Grande Déformation et Chargement Complexe) : La même géométrie soumise à de la traction (jusqu'à 50 %), du cisaillement (jusqu'à 25 %) et un chargement mixte, avec un maillage plus fin et un coût computationnel plus élevé.

Constats de Performance :

• Précision vs Temps d'Exécution : Dans les deux exemples, les méthodes de l'espace des déformations ont systématiquement surpassé l'ECSW de l'espace des déplacements dans le compromis entre précision et temps d'exécution.
• Accélérations (Speedups) :
  • E3C : A atteint des accélérations d'environ 10 000 fois (Exemple 1) et 30 000 fois (Exemple 2) par rapport au modèle complet tout en maintenant une haute précision (ex. < 1 % d'erreur). L'E3C a généralement fourni la plus haute précision pour un budget donné parmi les méthodes de l'espace des déformations lorsqu'un nombre suffisant de points d'intégration est utilisé.
  • EMSL : A démontré une efficacité de temps d'exécution exceptionnelle, atteignant des accélérations allant jusqu'à 100 000 fois (Exemple 1) et 300 000 fois (Exemple 2). L'EMSL a excellé lorsque les budgets en ligne et hors ligne étaient très limités, surpassant souvent l'E3C en vitesse, mais parfois au prix d'une précision légèrement inférieure dans les régimes hautement non linéaires par rapport à l'E3C avec de nombreux points d'intégration.
  • ECM : A mieux performé que l'ECSW mais est resté généralement en retrait derrière l'E3C et l'EMSL dans les métriques spécifiques testées.
• Coûts Hors Ligne : Bien que l'E3C possède une phase d'entraînement hors ligne plus coûteuse en raison de l'optimisation itérative, les auteurs notent que cela est gérable et nettement inférieur au temps requis pour générer les données d'entraînement. L'EMSL présente le coût hors ligne le plus bas.

Signification et Revendications
L'article affirme que la méthodologie proposée justifie la poursuite des recherches sur les techniques de MOR de l'espace des déformations au-delà de l'homogénéisation computationnelle. Les auteurs soulignent que ces techniques offrent :

• Une Efficacité Supérieure : Des réductions spectaculaires du temps d'exécution en ligne (ordres de grandeur) tout en conservant une haute précision.
• Un Caractère Non Intrusif : Les méthodes ne nécessitent que des données de déplacement, de déformation et de contrainte (facilement extraites de solveurs « boîte noire ») ainsi qu'une routine de matériau. Elles contournent les opérations au niveau de l'élément et ne nécessitent pas de connaissance des détails de discrétisation (ex. types d'éléments) ou des vecteurs résiduels.
• Une Applicabilité : Le traitement réussi des CL de Dirichlet arbitraires lève un obstacle majeur à l'application de ces techniques efficaces aux problèmes structurels à l'échelle macroscopique.

Les auteurs concluent que, bien que des défis subsistent pour les problèmes hautement non linéaires (tels que l'élasto-plasticité) et pour l'estimation des déformations par grappe dans l'EMSL, les performances démontrées suggèrent que ces méthodes pourraient permettre de nouvelles applications d'ingénierie dans les domaines du contrôle, de l'optimisation et de l'ajustement de modèles de matériaux, où le coût computationnel est actuellement prohibitif.