Self-Similar Solutions of the Two-Dimensional Incompressible Euler Equation from Large Initial Data

技术摘要：具有大初始数据的二维不可压缩 Euler 方程的自相似解

问题陈述
本文研究了二维不可压缩 Euler 方程的向前时间自相似解的构造：
$$\partial_t u + u \cdot \nabla u + \nabla p = 0, \quad \text{div } u = 0$$
在 $\mathbb{R}^2 \times (0, \infty)$ 中。研究重点是 $C^1$、无散且为 $(-a)$-齐次的初始数据 $u_0$，其中缩放参数满足 $1/3 < a < 1$。具体而言，初始速度具有如下形式：$u_0(x) = |x|^{-a}u_0(x/|x|)$。

核心挑战在于建立一个保持这种自相似结构的全局弱解 $u(t,x)$ 的存在性：
$$u(t, x) = t^{-\frac{a}{1+a}} U\left( \frac{x}{t^{\frac{1}{1+a}}} \right)$$
该问题无需对初始数据施加小量条件或对涡度进行符号限制。这一问题处于存在性理论、奇异性形成以及弱解潜在非唯一性研究的交汇点。虽然对于 Navier-Stokes 方程（包括 2D 和 3D）已构造出了具有大数据的自相似解，但 Euler 情况（零粘性）呈现出截然不同的困难，特别是缺乏用于控制涡度的耗散机制，以及缩放的临界性质。

方法论
构造过程通过欠耗散剖面的消失耗散极限（vanishing-dissipation limit）进行。作者引入了一个分数阶耗散项 $\epsilon \Lambda^{1+a}$（其中 $\Lambda = (-\Delta)^{1/2}$），并考虑正则化方程：
$$\epsilon \Lambda^{1+a} U_\epsilon - \frac{1}{1+a}(a U_\epsilon + y \cdot \nabla U_\epsilon) + U_\epsilon \cdot \nabla U_\epsilon + \nabla P_\epsilon = 0$$
该策略包含三个主要步骤：

1. 欠耗散剖面的存在性： 对于任何固定的 $\epsilon > 0$，都建立了光滑剖面 $U_\epsilon$ 的存在性。作者提供了存在性的独立证明（基于 Hou 和 Song 的工作），利用了无散远场截断函数和 Galerkin 方案。至关重要的是，他们直接利用 Oseen 核估计导出了剖面及其导数的逐点衰减估计，从而避免了使用加权能量空间。
2. 一致临界涡度估计： 本文的核心是建立当 $\epsilon \to 0$ 时关于涡度 $\Omega_\epsilon = \text{curl } U_\epsilon$ 的一致估计。作者定义了临界指数 $p_c = 2/(1+a)$。通过利用截断函数 $(|\Omega_\epsilon| - k)_+$ 的导数对涡度方程进行测试，他们推导出了涡度分布函数的微分不等式。这得到了在临界 Lorentz 空间 $L^{p_c, \infty}(\mathbb{R}^2)$ 中的一致界限：
   $$\|\Omega_\epsilon\|_{L^{p_c, \infty}} \leq C(a) \|\omega_0\|_{L^{p_c}(S^1)}$$
   该估计依赖于“伪速度”场 $\tilde{U}_\epsilon = U_\epsilon - \frac{y}{1+a}$ 的特定散度，其等于 $-p_c$，从而实现了对涡度截断的尺度不变控制。
3. 紧性与极限传递： 利用 $U_\epsilon$ 和 $\nabla U_\epsilon$ 的一致 Lorentz 界限，作者提取了一个收敛到极限剖面 $(U, P)$ 的子序列。速度的强局部收敛性和涡度的弱-* 收敛性使得在非线性项中传递极限成为可能。对于范围 $1/3 < a < 1/2$，乘积 $U \Omega$ 被证明是局部可积的，从而确保了涡度方程在分布意义下成立。

主要结果
主定理（定理 1.2）指出，对于任何 $C^1$ 无散 $(-a)$-齐次初始数据且满足 $1/3 < a < 1$，存在具有以下性质的自相似弱解 $u(t,x)$：

• 正则性： 速度 $u$ 在时间上是 $L^2_{\text{loc}}(\mathbb{R}^2)$ 值连续的，且梯度 $\nabla u$ 属于 $L^\infty_t L^{p_c, \infty}_x$。
• 初始迹： 当 $t \to 0$ 时，解在 $L^2_{\text{loc}}$ 中强收敛于初始数据 $u_0$。涡度 $\omega(t)$ 在 $L^{p_c, \infty}$ 中弱-* 收敛于 $\omega_0$。
• 普适性： 该构造不需要小量假设，也不需要对涡度进行符号假设。角向剖面 $u_0$ 不需要接近径向涡旋或满足径向占优条件，这区别于以往的螺旋构造。
• 端点行为： 该结果相对于端点 $a=1$ 是亚临界的。在 $a=1$ 时，涡度截断恒等式中的有利因子消失，且该论证无法排除浓度测度（concentration measures）。

意义与主张
本文将其贡献置于流体力学关于弱解非唯一性和奇异性形成的更广泛背景之下。

• 支持非唯一性： 作者指出，存在任意大的自相似剖面，为未来关于不稳定性及分叉情景的研究提供了必要的“基态”（参考 Jia, Šverák 等人的工作）。虽然本文本身并未证明非唯一性，但它提供了进行此类分析所需的这类大解类。
• 扩展螺旋解： 不同于以往依赖高频对称性或径向涡旋扰动的代数螺旋解构造，这项工作处理了不带对称性假设的一般 $C^1$ 角向数据。
• 临界控制： 结果强调，可以通过在临界 Lorentz 空间 $L^{p_c, \infty}$ 中的控制来实现全局弱存在性，而无需要求涡度有界（$L^\infty$）或有限总涡度。这扩展了二维理想流中粗糙数据类的已知存在性理论。

论文最后指出，对于 $a \geq 1/2$，只有在 $U\Omega \in L^1_{\text{loc}}$ 时，涡度方程才在分布意义下成立，而这在所述范围内并不能得到保证，尽管速度形式的表述仍然有效。该构造被明确描述为一种“消失耗散极限”，以区别于直接构造法。