Self-Similar Solutions of the Two-Dimensional Incompressible Euler Equation from Large Initial Data

Résumé Technique : Solutions Auto-similaires de l'Équation d'Euler Incompressible en Deux Dimensions à partir de Données Initiales de Grande Amplitude

Énoncé du Problème
L'article traite de la construction de solutions auto-similaires vers l'avant pour les équations d'Euler incompressibles en deux dimensions :
$$\partial_t u + u \cdot \nabla u + \nabla p = 0, \quad \text{div } u = 0$$
dans $\mathbb{R}^2 \times (0, \infty)$. L'étude se concentre sur des données initiales $u_0$ qui sont de classe $C^1$, sans divergence, et $(-a)$-homogènes, où le paramètre d'échelle satisfait $1/3 < a < 1$. Plus précisément, la vitesse initiale prend la forme $u_0(x) = |x|^{-a}u_0(x/|x|)$.

Le défi central consiste à établir l'existence d'une solution faible globale $u(t,x)$ qui préserve cette structure auto-similaire :
$$u(t, x) = t^{-\frac{a}{1+a}} U\left( \frac{x}{t^{\frac{1}{1+a}}} \right)$$
sans imposer de conditions de petiteur sur les données initiales ni de restrictions de signe sur la vorticité. Ce problème se situe à l'intersection de la théorie de l'existence, de la formation de singularités et de la potentielle non-unicité des solutions faibles. Bien que des solutions auto-similaires pour les équations de Navier-Stokes (tant en 2D qu'en 3D) aient été construites pour des données de grande amplitude, le cas d'Euler (viscosité nulle) présente des difficultés distinctes, particulièrement concernant l'absence de dissipation pour contrôler la vorticité et la nature critique de l'échelle.

Méthodologie
La construction procède via une limite de dissipation-vanissante de profils hypo-dissipatifs. Les auteurs introduisent un terme de dissipation fractionnaire $\epsilon \Lambda^{1+a}$ (où $\Lambda = (-\Delta)^{1/2}$) et considèrent l'équation régularisée :
$$\epsilon \Lambda^{1+a} U_\epsilon - \frac{1}{1+a}(a U_\epsilon + y \cdot \nabla U_\epsilon) + U_\epsilon \cdot \nabla U_\epsilon + \nabla P_\epsilon = 0$$
La stratégie comporte trois étapes principales :

1. Existence de Profils Hypo-dissipatifs : Pour tout $\epsilon > 0$ fixé, l'existence d'un profil lisse $U_\epsilon$ est établie. Les auteurs fournissent une preuve d'existence indépendante (s'appuyant sur les travaux de Hou et Song) en utilisant une coupure de champ lointain sans divergence et un schéma de Galerkin. Crucialement, ils dérivent des estimations de décroissance ponctuelle pour le profil et ses dérivées directement à partir d'estimations de noyaux d'Oseen, évitant ainsi les espaces d'énergie pondérés.
2. Estimation de la Vorticité Critique Uniforme : Le cœur de l'article est l'établissement d'une estimation pour la vorticité $\Omega_\epsilon = \text{curl } U_\epsilon$ qui soit uniforme quand $\epsilon \to 0$. Les auteurs définissent l'exposant critique $p_c = 2/(1+a)$. En testant l'équation de la vorticité contre la dérivée de la fonction de troncature $(|\Omega_\epsilon| - k)_+$, ils dérivent une inégalité différentielle pour la fonction de distribution de la vorticité. Cela produit une borne uniforme dans l'espace de Lorentz critique $L^{p_c, \infty}(\mathbb{R}^2)$ :
   $$\|\Omega_\epsilon\|_{L^{p_c, \infty}} \leq C(a) \|\omega_0\|_{L^{p_c}(S^1)}$$
   Cette estimation repose sur la divergence spécifique du champ de « pseudo-vitesse » $\tilde{U}_\epsilon = U_\epsilon - \frac{y}{1+a}$, qui est égale à $-p_c$, permettant un contrôle invariant d'échelle de la troncature de la vorticité.
3. Compacité et Passage à la Limite : En utilisant les bornes uniformes de Lorentz sur $U_\epsilon$ et $\nabla U_\epsilon$, les auteurs extraient une sous-suite convergeant vers un profil limite $(U, P)$. La convergence locale forte de la vitesse et la convergence faible-* de la vorticité permettent de passer à la limite dans les termes non linéaires. Pour la plage $1/3 < a < 1/2$, le produit $U \Omega$ est montré comme étant localement intégrable, garantissant que l'équation de la vorticité est satisfaite au sens des distributions.

Résultats Clés
Le théorème principal (Théorème 1.2) établit que pour toute donnée initiale $(-a)$-homogène de classe $C^1$ sans divergence avec $1/3 < a < 1$, il existe une solution faible auto-similaire $u(t,x)$ possédant les propriétés suivantes :

• Régularité : La vitesse $u$ est continue en temps avec des valeurs dans $L^2_{\text{loc}}(\mathbb{R}^2)$, et le gradient $\nabla u$ appartient à $L^\infty_t L^{p_c, \infty}_x$.
• Trace Initiale : La solution converge vers la donnée initiale $u_0$ fortement dans $L^2_{\text{loc}}$ quand $t \to 0$. La vorticité $\omega(t)$ converge faiblement-* vers $\omega_0$ dans $L^{p_c, \infty}$.
• Généralité : La construction ne nécessite aucune hypothèse de petiteur sur les données initiales ni d'hypothèse de signe sur la vorticité. Le profil angulaire $u_0$ n'a pas besoin d'être proche d'un vortex radial ou de satisfaire une condition de dominance radiale, ce qui distingue ce résultat des constructions précédentes de spirales.
• Comportement aux Bornes : Le résultat est sous-critique par rapport à la borne $a=1$. À $a=1$, le facteur favorable dans l'identité de troncature de la vorticité disparaît, et l'argument n'exclut pas les mesures de concentration.

Signification et Revendications
L'article positionne sa contribution dans le contexte plus large de la mécanique des fluides, spécifiquement concernant la non-unicité des solutions faibles et la formation de singularités.

• Soutien à la Non-Unicité : Les auteurs affirment que l'existence de profils auto-similaires arbitrairement grands fournit un « état de base » nécessaire pour de futures investigations sur les scénarios d'instabilité et de bifurcation, qui sont centraux pour le programme de non-unicité (référence aux travaux de Jia, Šverák, et autres). Bien que cet article ne prouve pas la non-unicité elle-même, il fournit la classe de solutions de grande amplitude requise pour une telle analyse.
• Extension des Solutions Spirales : Contrairement aux constructions précédentes de solutions spirales algébriques qui reposaient sur une symétrie de haute fréquence ou des perturbations de vortex radiaux, ce travail traite des données angulaires $C^1$ générales sans hypothèses de symétrie.
• Contrôle Critique : Le résultat souligne qu'une existence faible globale peut être obtenue avec un contrôle dans l'espace de Lorentz critique $L^{p_c, \infty}$ plutôt qu'en exigeant une vorticité bornée ($L^\infty$) ou une vorticité totale finie. Cela étend la théorie de l'existence connue pour les classes de données rugueuses dans les écoulements idéaux en deux dimensions.

L'article conclut en notant que pour $a \geq 1/2$, l'équation de la vorticité est satisfaite au sens des distributions uniquement si $U\Omega \in L^1_{\text{loc}}$, ce qui n'est pas garanti par les estimations dans cette plage, bien que la formulation de la vitesse reste valide. La construction est explicitement décrite comme une « limite de dissipation-vanissante », se distinguant des méthodes de construction directe.