55 Additions Suffice for 3x3 Matrix Multiplication at Rank 23

想象一下，你是一位正在尝试烘焙一个巨大且复杂的蛋糕的大师级厨师。这个食谱要求你以非常特定的方式将数十种原料混合在一起。在计算机的世界里，“混合”原料就像是数字相乘，而“烘焙蛋糕”就像是两个数字网格（矩阵）相乘得到一个新的结果。长期以来，数学家们认为进行这种操作的唯一方法是遵循标准的、缓慢的食谱：把每一个数字都相乘，然后把它们加起来。但在 20 世纪 60 年代，一位天才名叫斯特拉森（Strassen），他发现了一个魔术般的技巧。他意识到，如果改变你混合的顺序，你就可以跳过一些繁重的体力活。你可以用更少的“乘法”——也就是最昂贵且最耗时的步骤——得到同样美味的蛋糕。

然而，这其中有一个陷阱。虽然你可以节省昂贵的乘法步骤，但你通常必须做更多的“加法”（混合碗）。想一下这个场景：与其只是把面粉倒入碗中，你可能需要按照一种非常特定的舞步进行切碎、搅拌和折叠，才能组合这些原料。目标在于找到那套完美的舞步，使用绝对最少的步骤。这篇你即将阅读的论文，是关于一个团队发现了一种针对特定类型“蛋糕”（即 3x3 矩阵）的新型、更高效的舞步。他们并没有改变“重体力活”（乘法）的数量，而是精简了“混合步骤”（加法），从而节省了极小但显著的工作量。

全新的破纪录舞步

这篇由来自 Logical AI 的 Samurdhi Karunaratne 和 Anushka Idamekorala 撰写的论文，宣布了两个 3x3 数字网格相乘的新纪录。他们发现了一种仅需 55 次加法和 23 次乘法即可完成计算的方法。

为了理解为什么这很重要，请想象一下之前的最佳食谱。目前的冠军是由一位名叫 Sun 的研究人员创造的，该食谱需要 56 次加法。本文的作者并没有发明一种全新的矩阵乘法方式；相反，他们采用了一个现有的公开食谱（由 Perminov 创建，其早期版本使用了 58 次加法和 59 次加法），并优化了“准备”步骤。他们意识到，通过重新排列预混合原料的方式，他们可以将总加法步骤减少到 55 次。

以下是他们的新“厨房”运作方式，分为三个简单的阶段：

1. 准备左侧原料： 在混合之前，他们取出第一个数字网格（我们称之为“左侧”网格），并执行 13 个简单的加法或减法步骤，以创建 23 种特殊的混合物。
2. 准备右侧原料： 他们对第二个数字网格（“右侧”网格）进行同样的操作，使用 14 个步骤来创建其 23 种特殊的混合物。
3. 大混合与最终组装： 他们将左侧和右侧匹配的混合物进行相乘（共计 23 次乘法）。然后，他们将这 23 个结果进行 28 次额外的加法步骤，以组装成最终的 3x3 结果。

当你把准备工作（13 + 14）和最终组装（28）相加时，正好等于 55 次加法。这比之前的最佳记录少了一步，使其成为这种特定类型计算中最有效的已知方法。

这意味着什么（以及它不意味着什么）

你可能会问：“这真的是最完美的方法了吗？”作者非常谨慎地表示：不一定。 他们已经证明了，对于他们选择的这种特定原料排列方式而言，55 是你能做到的极限。他们使用严密的数学搜索证明了，对于这种特定的食谱，你无法使用更少的步骤。然而，他们也承认，可能存在一种完全不同的食谱（一种不同的原料排列方式），其速度甚至更快。他们还没有找到它，也没有声称已经解决了矩阵乘法的所有谜团。

他们还澄清了这不仅仅是一个幸运的猜测或可能出错的计算机模拟。他们提供了一个“真理证书”。他们写出了整个分步食谱（称为“直线程序”），并通过多个独立的计算机程序（使用 Python 和 Node.js 编写）运行了它，以检查必须使该食谱成立的全部 729 条数学规则。每一项检查都通过了。这意味着数学逻辑是严密的，且该食谱适用于任何类型的数字系统，甚至是那些乘法顺序很奇特的系统。

幕后的 AI

这个故事中一个有趣的转折点在于这个食谱是如何被发现的。作者透露，一名人类研究员引导着一个 AI 系统（具体是一个使用 OpenAI GPT-5.6 Sol 的智能体）发现了这个结果。人类设定了目标：“找到一种能够打破 56 次加法纪录的方法。”随后，AI 探索了现有食谱的图景，找到了 Perminov 较旧的 58 次加法版本，并意识到通过微调准备步骤，它可以削减掉三个额外的动作。接着，AI 再次检查了它的工作，编写了代码，并验证了数学逻辑。这是一个人类与机器协作的完美案例：人类提供了方向和“为什么”，而 AI 则处理了寻找“如何做”的过程中沉重的搜索工作。

最后，这篇论文是一个微小但精确的胜利。它表明，即使在矩阵乘法这样一个历史悠久的领域，只要你观察得足够仔细，仍然存在着微小的、隐藏的效率提升空间。这就像是在一条熟悉的森林路径中发现了一条稍短的新路。你最终到达了同一个地方，但你仅仅少走了一步。