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55 Additions Suffice for 3x3 Matrix Multiplication at Rank 23

Este artículo presenta un nuevo algoritmo de rango-23 para la multiplicación de matrices de $3\times3$ que reduce el número de adiciones requeridas a 55 (totalizando 78 operaciones escalares), mejorando así el estado del arte previo de 56 adiciones mientras mantiene la validez sobre cualquier anillo asociativo mediante una construcción basada en el tensor de Perminov y un circuito lineal optimizado.

Autores originales: Samurdhi Karunaratne, Anushka Idamekorala

Publicado 2026-08-03

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CC BY 4.0

Autores originales: Samurdhi Karunaratne, Anushka Idamekorala

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que eres un maestro chef intentando hornear un pastel enorme y complejo. La receta requiere que mezcles docenas de ingredientes de formas muy específicas. En el mundo de las computadoras, "mezclar" ingredientes es como multiplicar números, y "hornear el pastel" es como multiplicar dos cuadrículas de números (matrices) para obtener un nuevo resultado. Durante mucho tiempo, los matemáticos pensaron que la única forma de hacer esto era seguir la receta estándar y lenta: multiplicar cada número individualmente y luego sumarlos. Sin embargo, en la década de 1960, un genio llamado Strassen descubrió un truco de magia. Se dio cuenta de que si reordenaba la forma de mezclar, podía saltarse parte del trabajo pesado. Podía obtener el mismo pastel delicioso usando menos "multiplicaciones", que son los pasos más costosos y que más tiempo consumen en la cocina.

Sin embargo, hay un inconveniente: aunque puedes ahorrar en las multiplicaciones costosas, a menudo tienes que realizar más "sumas" (mezcla de cuencos) para preparar los ingredientes. Piensa en esto como si, en lugar de simplemente verter harina en un cuenco, tuvieras que picar, revolver y plegar los ingredientes en una danza muy específica antes de poder combinarlos. El objetivo ha sido encontrar la rutina de danza perfecta que utilice el menor número absoluto de pasos posibles. Este artículo que estás a punto de leer trata sobre un equipo que encontró una danza nueva y ligeramente más eficiente para un tipo específico de pastel: una matriz de 3x3. No cambiaron el número de levantamientos pesados (multiplicaciones), sino que lograron recortar el número de pasos de mezcla (sumas), quitando una cantidad pequeña pero significativa de trabajo.

La Nueva Danza que Rompe Récords

Este artículo, escrito por Samurdhi Karunaratne y Anushka Idamekorala de Logical AI, anuncia un nuevo récord para multiplicar dos cuadrículas de 3x3 números. Han encontrado una forma de hacerlo usando solo 55 sumas y 23 multiplicaciones.

Para entender por qué esto es importante, imagina la receta del campeón anterior. El actual campeón, creado por un investigador llamado Sun, requería 56 sumas. Los autores de este artículo no inventaron una forma completamente nueva de multiplicar matrices; en su lugar, tomaron una receta pública existente (creada por Perminov) que utilizaba 58 sumas, y optimizaron los pasos de "preparación". Se dieron cuenta de que, al reordenar cómo se pre-mezclaban los ingredientes, podían reducir el número total de pasos de suma a 55.

Así es como funciona su nueva "cocina", desglosada en tres etapas simples:

Preparando los Ingredientes de la Izquierda: Antes de mezclar, toman la primera cuadrícula de números (llamémosla la cuadrícula "Izquierda") y realizan 13 pasos simples de suma o resta para crear 23 mezclas especiales.
Preparando los Ingredientes de la Derecha: Hacen lo mismo para la segunda cuadrícula (la "Derecha"), utilizando 14 pasos para crear sus 23 mezclas especiales.
La Gran Mezcla y el Ensamblaje Final: Multiplican las mezclas correspondientes de la Izquierda y la Dereja (23 multiplicaciones en total). Luego, toman esos 23 resultados y realizan 28 pasos de suma más para ensamblar el resultado final de 3x3.

Cuando sumas el trabajo de preparación (13 + 14) y el ensamblaje final (28), obtienes exactamente 55 sumas. Esto es una suma menos que el mejor anterior, lo que lo convierte en el método más eficiente conocido para este tipo específico de cálculo.

Por Qué Esto Importa (y Por Qué No)

Podrías preguntarte: "¿Es esta la mejor forma absoluta de hacerlo?". Los autores son muy cuidadosos al decir: No, no necesariamente. Han demostrado que para este arreglo específico de ingredientes que eligieron, 55 es lo mejor que se puede hacer. Utilizaron una búsqueda matemática rigurosa para probar que no se puede lograr menos pasos para esta receta específica. Sin embargo, admiten que podría haber una receta completamente diferente (un arreglo de ingredientes distinto) que podría ser incluso más rápida. No la han encontrado todavía, y no están afirmando haber resuelto el misterio completo de la multiplicación de matrices para siempre.

También aclaran que esto no es solo una suposición afortunada o una simulación de computadora que podría estar equivocada. Han proporcionado un "certificado" de verdad. Escribieron toda la receta paso a paso (llamada un "programa de línea recta") y la pasaron por múltiples programas independientes (escritos en Python y Node.js) para verificar cada una de las 729 reglas matemáticas que deben ser ciertas para que la receta funcione. Cada uno de los controles pasó. Esto significa que las matemáticas son sólidas y que la receta funciona perfectamente para cualquier tipo de sistema numérico, incluso para aquellos extraños donde el orden de la multiplicación importa.

La IA Detrás de la Cortina

Un giro interesante en esta historia es cómo se encontró la receta. Los autores revelan que un investigador humano guio a un sistema de IA (específicamente, un agente que utiliza OpenAI's GPT-5.6 Sol) para descubrirlo. El humano estableció la meta: "Encuentra una forma de vencer el récord de 56 sumas". La IA luego exploró el panorama de las recetas existentes, encontró la versión de 58 sumas de Perminov y se dio cuenta de que, al retocar los pasos de preparación, podía recortar tres movimientos adicionales. La IA luego verificó su trabajo, escribió el código y validó las matemáticas. Es un ejemplo perfecto de cómo un humano y una máquina trabajan juntos: el humano proporcionó la dirección y el "por qué", mientras que la IA se encargó del trabajo pesado de buscar entre millones de posibilidades para encontrar el "cómo".

Al final, este artículo es una victoria pequeña pero precisa. Demuestra que incluso en un campo tan antiguo como la multiplicación de matrices, todavía existen pequeñas y ocultas eficiencias esperando ser descubiertas si se mira con atención. Es como encontrar un camino nuevo y ligeramente más corto a través de un bosque familiar. Sigues llegando al mismo lugar, pero llegas con un paso menos.

Resumen Técnico: 55 Adiciones Suficen para la Multiplicación de Matrices de 3 × 3 con Rango 23

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el problema de minimizar la complejidad aditiva (el número de adiciones y sustracciones) requerida para multiplicar dos matrices $3 \times 3$ arbitrarias sobre un anillo asociativo, dado un rango multiplicativo fijo de 23. Mientras que el algoritmo de Strassen estableció que la multiplicación de matrices puede acelerarse mediante la reducción de productos bilineales, el rango multiplicativo para matrices $3 \times 3$ generales se ha mantenido en 23 desde el descubrimiento de Laderman en 1976. La investigación reciente se ha centrado en reducir el número de adiciones escalares necesarias para realizar estos esquemas de rango 23. Antes de este trabajo, el estado del arte era de 56 adiciones, logrado por Sun.

Metodología
Los autores construyen un nuevo algoritmo optimizando las etapas lineales de una factorización de tensores preexistente. La metodología procede de la siguiente manera:

Tensor Base: La construcción utiliza la factorización de Perminov liberada públicamente, cr58_cn122, que originalmente requería 58 adiciones (14 para la entrada izquierda, 15 para la entrada derecha y 29 para la reconstrucción de la salida).
Síntesis Exacta de los Mapas de Factores: Los autores realizan una búsqueda exhaustiva de dependencias dentro del modelo de programa de líneas rectas (SLP) de adición/sustracción binaria para optimizar los tres mapas lineales ( $U, V, W$ $U, V, W$ ) que transforman las 9 entradas de la matriz en las 23 formas bilineales.
- Identifican que, para la orientación fija del tensor, el número mínimo de puertas necesarias para generar las direcciones de salida requeridas excede el límite inferior teórico basado en direcciones distintas de la base ( $d(F)$ ).
- Específicamente, demuestran que para el factor izquierdo ( $U$ ), el costo es 13 (uno más que el suelo de 12); para el factor derecho ( $V$ ), el costo es 14 (uno más que el suelo de 13); y para el factor de salida ( $W$ ), el costo es 14 (uno más que el suelo de 13).
Principio de Transposición: Para obtener el circuito de reconstrucción de la salida (que mapea 23 productos de vuelta a 9 entradas de matriz), los autores trasponen el circuito optimizado de 14 adiciones para $W$ . Utilizando el principio de transposición de circuitos lineales, un circuito con $L$ puertas, $n$ entradas y $m$ salidas se transforma en un circuito para la transpuesta con $L + m - n$ puertas. Aplicando esto al circuito $W$ ( $L=14, n=9, m=23$ ) resulta en un circuito de salida de 28 puertas.
Verificación: La corrección del algoritmo se verifica comprobando las 729 identidades de Brent sobre los enteros $\mathbb{Z}$ . Los autores proporcionan cuatro métodos de verificación independientes, incluyendo implementaciones en Python y Node.js, asegurando que el resultado se mantenga sobre cualquier anillo asociativo (conmutativo o no), ya que el alfabeto de coeficientes está restringido a $\{-1, 0, 1\}$ .

Contribuciones Clave

Nuevo Límite Superior: El artículo presenta una realización de la multiplicación de matrices $3 \times 3$ utilizando 23 multiplicaciones escalares y 55 adiciones/sustracciones, mejorando el récord anterior de 56.
Certificado de Optimidad: Los autores proporcionan un circuito lineal provablemente óptimo para la orientación específica del tensor utilizada. Demuestran que, para el tensor fijo cr58_cn122, la suma de los costos de las etapas lineales no puede ser inferior a 55 en el modelo estándar de tres etapas de SLP bilineal.
Liberación de Datos Exactos: El artículo incluye el programa de líneas rectas completo, los factores del tensor y un "certificado congelado" que permite la regeneración byte a byte y la verificación independiente de las 729 identidades.

Resultos
La anatomía del circuito resultante es la siguiente:

Preprocesamiento Izquierdo (A): 13 adiciones (mapeo de 9 entradas a 23 formas).
Preprocesamiento Derecho (B): 14 adiciones (mapeo de 9 entradas a 23 formas).
Capa Bilineal: 23 multiplicaciones.
Reconstrucción de Salida: 28 adiciones (mapeo de 23 productos a 9 salidas).
Trabajo Lineal Total: 55 adiciones.

El artículo confirma que el algoritmo se aplica a cualquier anillo asociativo porque los coeficientes están en $\{-1, 0, 1\}$ y el orden de los productos bilineales se preserva.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores declaran explícitamente que no pretenden que 55 sea el mínimo global entre todas las posibles descomposiciones de rango 23, ni que sea óptimo en modelos de circuitos que permitan operaciones primitivas distintas a la adición/sustracción. Sin embargo, dentro del modelo específico de una orientación de tensor fija y el estándar de programa de líneas rectas bilineal de tres etapas, 55 es el recuento de adiciones más bajo conocido actualmente.

La significancia del trabajo radica en:

Mejora Incremental: Reduce el límite superior por una adición, continuando la tendencia de optimizar la complejidad aditiva para rangos multiplicativos fijos.
Verificación Rigurosa: El resultado está respaldado por aritmética entera exacta y múltiples implementaciones independientes, evitando la dependencia de pruebas numéricas o aleatorizadas.
Descubrimiento Asistido por IA: El artículo revela que el descubrimiento fue impulsado por una investigación dirigida por humanos utilizando agentes de IA (OpenAI GPT-5.6 Sol y Codex) para la búsqueda, síntesis y verificación. El investigador humano definió los objetivos y los criterios de aceptación, mientras que los agentes de IA ejecutaron las búsquedas de circuitos y generaron el certificado. Los autores enfatizan que la validez matemática reside enteramente en las 729 identidades exactas y en el programa de líneas rectas impreso, no en la participación de la IA.

La Nueva Danza que Rompe Récords

Por Qué Esto Importa (y Por Qué No)

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Resumen Técnico: 55 Adiciones Suficen para la Multiplicación de Matrices de 3 × 3 con Rango 23

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