Generalized solution and Weak-Strong uniqueness for a barotropic Euler-Riesz system

技术摘要：Barotropic Euler-Riesz 系统的广义解与弱-强唯一性

问题陈述
本文研究了环面 $\mathbb{T}^d$ ($d=2,3$) 上的 barotropic Euler-Riesz 系统，该系统描述了受非局部相互作用力影响的可压缩流体，其密度为 $\varrho$，速度为 $u$。系统由连续性方程、动量方程以及将势函数 $\Phi$ 与密度联系起来的分数阶 Poisson 方程组成：
$$\begin{aligned} \partial_t \varrho + \text{div}_x(\varrho u) &= 0, \\ \partial_t(\varrho u) + \text{div}_x(\varrho u \otimes u) + \nabla_x p(\varrho) + \varrho \nabla_x \Phi &= 0, \\ (-\Delta)^s \Phi &= \varrho - \bar{\varrho}, \end{aligned}$$
其中 $p(\varrho) = a\varrho^\gamma$ ($\gamma > 1$)，且相互作用核对应于阶数为 $\beta = 2s \in (0, 2)$ 的 Riesz 势。研究重点在于**排斥性（repulsive）**情形，即相互作用能具有凝聚性。

解决问题的核心难点在于如何严格定义和分析该系统的广义（耗散）解。在经典的 Euler-Poisson 情形 ($s=1$) 中，非局部力 $\varrho \nabla \Phi$ 可以通过恒等式 $(\varrho - \bar{\varrho})\nabla \Phi = -\text{div}_x T_c[\nabla \Phi]$ 重写为局部应力张的存在。然而，对于分数阶 $s \in (0, 1)$，在环面上不存在这样的逐点恒等式；该力是真正的非局部力，且乘积 $\varrho \nabla \Phi$ 无法仅通过标准的能量估计来定义，因为 $\nabla \Phi$ 属于分布空间。

方法论
为了克服分数阶缺乏局部应力表示的问题，作者采用了 Caffarelli–Silvestre 扩张法。该技术通过引入辅助变量 $z$，将问题从物理域 $\mathbb{T}^d$ 提升到半柱体 $\Omega = \mathbb{T}^d \times (0, \infty)$。势函数 $\Phi$ 被实现为扩展函数 $U(t, x, z)$ 的迹，该函数满足一个局部的退化椭圆方程：
$$\text{div}_{x,z}(z^{1-2s} \nabla_{x,z} U) = 0 \quad \text{in } \Omega,$$
其中在 $z=0$ 处具有恢复分数阶拉普拉斯算子的 Neumann 型边界条件。

这种局部化使得非局部力可以表示为扩展空间中局部应力张量 $T_{ER}[U]$ 的迹。具体而言，力项 $\varrho \nabla \Phi$ 被替换为一个涉及 $T_{ER}[U] = z^{1-2s}(\nabla_x U \otimes \nabla_x U - \frac{1}{2}|\nabla_{x,z} U|^2 \text{Id})$ 的积分。

基于这一结构，本文引入了一种耗散解的概念。不同于经典的弱解，耗散解被定义为一个七元组 $(\varrho, m, U, R_{\text{fluid}}, R_{\text{ext}}, E_{\text{fluid}}, E_{\text{ext}})$，其中：

1. $(\varrho, m, U)$ 是流体密度、动量和扩展势。
2. $R_{\text{fluid}}$ 和 $R_{\text{ext}}$ 是由于流体方程和扩展方程中非线性项的弱极限而产生的缺陷测度（湍流应力）。
3. $E_{\text{fluid}}$ 和 $E_{\text{ext}}$ 是解释能量损失的能量缺陷测度。

至关重要的是，其定义包含了将动量缺陷与能量缺陷联系起来的相容条件。对于扩展部分，缺陷测度 $R_{\text{ext}}$ 并非符号确定，而是通过一个算子范数至多为 1 的 Radon–Nikodým 密度被能量缺陷 $E_{\text{ext}}$ 所控制。

主要贡献与结果

1. 耗散解的定义： 本文为 $s \in (0, 1)$ 的 Euler-Riesz 系统建立了一个一致的广义解框架。证明了该类解具有序列稳定性，即一致逼近序列（例如消失粘性极限）的极限会产生耗散解。证明了缺陷测度是作为非线性项的弱极限自然产生的。

2. 与经典解的相容性： 文中证明了任何具有足够正则性（特别是密度严格大于零且场为 $C^1$）的耗散解都与经典解一致，且所有缺陷测度均消失。这确保了该定义在光滑情形下不会引入伪解。

3. 弱-强唯一性： 主要结果（定理 2）确立了：如果在时间区间 $[0, T]$ 上存在强解 $(r, v)$，则具有相同初始数据的任何耗散解在该区间内与强解一致。因此，所有缺陷测度均消失，且能量守恒。

   • 证明采用了相对能量方法。构造了一个结合了动能/内能差与扩展能量差的相对能量泛函 $E_{\text{rel}}$。
   • 一个关键的技术成就是推导出了一个相对能量不等式，其中非局部力项被吸收进扩展部分的相对应力张量中。这使得该力可以通过代数方式由相对能量控制，而无需使用将压力指数 $\gamma$ 与奇异阶 $\beta$ 耦合在一起的分数插值不等式。

意义与主张
本文声称其主要贡献在于填补了非局部流体方程理论中的一个结构性空白：即分数阶 Riesz 相互作用缺乏局部散度结构的缺陷。通过利用 Caffarelli–Silvestre 扩张，作者提供了一种机制，通过在扩展维度中的局部应力张量来控制奇异的非局部力。

该结果的一个显著方面是压力指数 $\gamma$ 与相互作用阶 $\beta$ 的解耦。以往关于 Euler-Riesz 系统弱-强唯一性的工作（例如 Alves 等人的工作）要求满足耦合条件，如 $\gamma \geq 2 - \beta/d$。相比之下，本文为每一个 $\gamma > 1$ 和每一个 $\beta \in (0, 2)$ 独立地建立了弱-强唯一性。作者指出，$\beta \in (0, 2)$ 的限制是由于所使用的第一阶 Caffarelli–Silvestre 扩张的固有性质，而对 $\gamma$ 的独立性则是通过利用扩展能量而非压力来控制非局部力的直接结果。

这项工作将广义解理论（由 DiPerna, Majda 开启，随后由 Breit, Feireisl, 和 Hofmanová 发展）扩展到了具有奇异非局部相互作用的系统，为分析大数据的解及其稳定性提供了一个稳健的框架。