Generalized solution and Weak-Strong uniqueness for a barotropic Euler-Riesz system

技術要約：バロトロピック・オイラー・リース・システムの一般化解および弱・強一意性

問題設定
本論文は、トーラス $\mathbb{T}^d$ ($d=2,3$) 上のバロトロピック・オイラー・リース・システムを研究対象としている。これは、密度 $\varrho$ と速度 $u$ を持ち、非局所的な相互作用力を受ける圧縮性流体を記述するものである。系は、連続の式、運動量方程式、および密度 $\varrho$ とポテンシャル $\Phi$ を結びつける分数階ポアソン方程式によって構成される：
$$\begin{aligned} \partial_t \varrho + \text{div}_x(\varrho u) &= 0, \\ \partial_t(\varrho u) + \text{div}_x(\varrho u \otimes u) + \nabla_x p(\varrho) + \varrho \nabla_x \Phi &= 0, \\ (-\Delta)^s \Phi &= \varrho - \bar{\varrho}, \end{aligned}$$
ここで、$p(\varrho) = a\varrho^\gamma$ ($\gamma > 1$) であり、相互作用カーネルは次数 $\beta = 2s \in (0, 2)$ のリース・ポテンシャルに対応する。本研究は、相互作用エネルギーが強凸性を持つ**反発的（repulsive）**なケースに焦点を当てている。

中心となる困難は、この系における一般化（散逸的）解の厳密な定義と解析である。古典的なオイラー・ポアソン系 ($s=1$) の場合、非局所的な力 $\varrho \nabla \Phi$ は、恒等式 $(\varrho - \bar{\varrho})\nabla \Phi = -\text{div}_x T_c[\nabla \Phi]$ を通じて、局所的な応力テンソルの発散として書き換えることができる。しかし、$s \in (0, 1)$ の分数階の次数においては、トーラス上においてそのような点での恒等式は存在せず、力は純粋に非局所的であり、積 $\varrho \nabla \Phi$ は標準的なエネルギー境界のみを通じて定義することはできない。なぜなら、$\nabla \Phi$ は分布空間に属するためである。

手法
分数階の次数における局所的な応力表現の欠如を克服するために、著者はカファレリ・シルベストリ（Caffarelli–Silvestre）拡張を用いる。この手法は、補助変数 $z$ を導入することにより、物理領域 $\mathbb{T}^d$ から半シリンダー $\Omega = \mathbb{T}^d \times (0, \infty)$ へ問題をリフトさせるものである。ポテンシャル $\Phi$ は、拡張関数 $U(t, x, z)$ のトレースとして実現され、これは以下の局所的で退化した楕円型方程式を満たす：
$$\text{div}_{x,z}(z^{1-2s} \nabla_{x,z} U) = 0 \quad \text{in } \Omega,$$
ここで、$\Omega$ 内の境界条件として、分数型ラプラシアンを回収するノイマン型の境界条件が付与される。

この局所化により、非局所的な力は、拡張空間における局所的な応力テンソル $T_{ER}[U]$ のトレースとして表現することが可能となる。具体的には、力項 $\varrho \nabla \Phi$ は、$T_{ER}[U] = z^{1-2s}(\nabla_x U \otimes \nabla_x U - \frac{1}{2}|\nabla_{x,z} U|^2 \text{Id})$ を含む積分によって置き換えられる。

この構造に基づき、本論文は散逸的解（dissipative solutions）の概念を導入している。古典的な弱解とは異なり、これらは流体および拡張方程式の非線形項から生じる欠陥測度（defect measures）（乱流応力）である $R_{\text{fluid}}$ および $R_{\text{ext}}$、ならびにエネルギーの損失を説明するエネルギー欠陥測度 $E_{\text{fluid}}$ および $E_{\text{ext}}$ を含む、7つ組 $(\varrho, m, U, R_{\text{fluid}}, R_{\text{ext}}, E_{\text{fluid}}, E_{\text{ext}})$ として定義される。

1. $(\varrho, m, U)$ は、流体の密度、運動量、および拡張ポテンシャルである。
2. $R_{\text{fluid}}$ と $R_{\text{ext}}$ は、流体および拡張の非線形項の弱極限から生じる欠陥測度である。
3. $E_{\text{fluid}}$ と $E_{\text{ext}}$ は、エネルギーの損失を考慮するエネルギー欠陥測度である。

決定的なのは、運動量の欠陥とエネルギーの欠陥を結びつける適合条件が含まれていることである。拡張の部分については、欠陥測度 $R_{\text{ext}}$ は符号が定まらないが、演算子ノルムが最大1のラドン・ニコディム密度を介してエネルギー欠陥 $E_{\text{ext}}$ によって支配される。

主要な貢献と結果

1. 散逸的解の定義： 本論文は、$s \in (0, 1)$ の場合のオイラー・リース・システムに対する一貫した一般化解の枠組みを確立している。このクラスが**逐次的に安定（sequentially stable）**であること、すなわち、一貫した近似列（例えば、粘性消失極限）の極限が散逸的解を与えることを証明している。欠陥測度は、非線形項の弱極限として自然に生じることが示されている。

2. 古典解との適合性： 十分な正則性（具体的には、密度が厳密に正であり、諸場が $C^1$ である場合）を持つ散逸的解は、古典的な解と一致し、すべての欠陥測度が消滅することを証明している。これにより、この定義が滑らかな領域において偽の解を導入しないことが保証される。

3. 弱・強一意性： 主要な結果（定理2）は、時間区間 $[0, T]$ において強解 $(r, v)$ が存在する場合、同一の初期データを持つ任意の散逸的解は、その区間において強解と一致することを確立している。したがって、すべての欠陥測度は消滅し、エネルギーは保存される。

   • 証明には相対エネルギー法が用いられる。運動エネルギー／内部エネルギーの差と拡張エネルギーの差を組み合わせた相対エネルギー汎関数 $E_{\text{rel}}$ が構築される。
   • 主要な技術的成果は、非局所的な力項が拡張の相対応力テンソルの中に吸収されるような相対エネルギー不等式の導出である。これにより、圧力指数 $\gamma$ と特異性の次数 $\beta$ を結合させる分数型補間不等式を必要とすることなく、非局所的な力を相対エネルギーによって代数的に制御することが可能となった。

意義と主張
本論文の主要な貢献は、非局所的な分数階リースの相互作用における局所的なダイバージェンス構造の欠如という、非局所的流体方程式の理論における構造的な空白を埋めることにあると主張している。カファレリ・シルベストリ拡張を利用することで、拡張された次元における局所的な応力テンソルを通じて、特異な非局所的力を制御するメカニズムを提供している。

重要な側面は、圧力指数 $\gamma$ と相互作用の次数 $\beta$ のデカップリング（分離）である。オイラー・リース・システムの弱・強一意性に関する先行研究（Alvesら）では、$\gamma \geq 2 - \beta/d$ のような結合条件が必要であった。対照的に、本論文はすべての $\gamma > 1$ およびすべての $\beta \in (0, 2)$ に対して、それらとは独立に弱・強一意性を確立している。著者は、$\beta \in (0, 2)$ という制限は使用された一次の性質を持つカファレリ・シルベストリ拡張に固有のものであるが、$\gamma$ からの独立性は、非局所的な力を圧力ではなく拡張エネルギーを通じて制御した直接的な結果であると述べている。

本研究は、圧縮性オイラー方程式から始まった一般化解の理論（DiPerna, Majda、および後のBreit, Feireisl, Hofmanováによる）を、特異な非局所的相互作用を持つ系へと拡張し、大きなデータを持つ解の解析およびその安定性に対する堅牢な枠組みを提供している。