More than two thirds of the zeta zeros are simple and on the critical line

技术摘要：“超过三分之二的黎曼 Zeta 函数零点是单零点且位于临界线上”

问题陈述
本文研究了黎曼 Zeta 函数 $\zeta(s)$ 非平凡零点的分布。具体而言，旨在寻求当 $T \to \infty$ 时，以下两个量无条件的下界：

1. 位于临界线（$\text{Re}(s) = 1/2$）上的零点中，是单零点（重数为 1）的比例。
2. 位于临界线上的不同零点（无论重数如何，均计为 1）的比例。

在此项工作之前，无条件记录分别为：单临界线零点占比 $5/12$ ($\approx 0.4167$)，以及不同零点占比 $0.6603$。在黎曼假设（RH）成立的前提下，蒙哥马利（Montgomery, 1973）推导出临界线上至少有 $2/3$ 的零点是单零点，随后的研究进一步提高了不同零点的界限。其挑战在于如何摆脱对 RH 的依赖，因为在历史上，为了确保在对实数序数求和时 Weil 显式公式的“零点侧”（zero side）具有正定性，必须依赖于 RH。

方法论
证明过程通过构建 Weil 显式公式的一个有限维近似，并应用线性代数中的秩-迹不等式（rank-trace inequalities）来绕过对 RH 的需求。

1. Weil 显式公式与埃尔米特形式（Hermitian Forms）：
   作者利用 Weil 显式公式在测试函数集上定义了一个埃尔米特形式 $W(f, g) = \sum_\rho m_\rho \hat{f}(\gamma_\rho) \overline{\hat{g}(\gamma_\rho)}$。该形式在所有紧支撑函数上的正定性等价于 RH。
   作者并未假设正定性，而是将此形式限制在一个特定的调制测试函数族（一个“窗口” $\psi$）上，这些函数在区间 $[T, 2T]$ 上进行间隔分布，其中 $d \approx N(T, 2T)$。由此产生一个实对称矩阵 $\tilde{G}$。

2. 矩阵分解（零点侧）：
   将矩阵 $\tilde{G}$ 分解为 $\tilde{G} = P + Q + E$，其中：

   • $P$ 代表临界线上零点的贡献。
   • $Q$ 代表离线对 $\{\rho, 1-\bar{\rho}\}$ 的贡献。
   • $E$ 是一个具有较小迹范数的尾项。

   至关重要的是，作者分析了这些分量的秩（rank）和正指数（positive index，即正特征值的数量）：

   • 临界线上的每个单零点为 $P$ 贡献秩 1。

ের

• 每个离线对为 $Q$ 贡献一个签名（signature）为 $(1, 1)$ 的块，这意味着它为 $n_+(Q)$ 贡献 1，但对“在线”部分的秩贡献为 0。
• 这种结构性的洞察（归功于 Bombieri）使得作者能够利用 $Q$ 的正指数来限制离线对的数量。

3. 秩-迹不等式（核心创新）：
   论文引入了一个针对埃尔米特矩阵 $P_1 \succeq 0$ 和 $Q'$ 的特定线性代数不等式（引理 3.2）：
   $$\text{rank}(P_1) \ge 2\text{tr}(P_1) + 4\text{tr}(Q') - 4n_+(Q') - \|P_1 + Q'\|_{HS}^2$$
   通过将 $P_1$ 设为 $P$ 中对应于临界线上单零点的部分，并将 $Q'$ 设为剩余部分，作者仅通过 $\tilde{G}$ 的迹和 Frobenius 范数以及离线对的数量，推导出了单临界线零点个数（$N_s^0$）的下界。这取代了经典的项正性要求（该要求在离线处失效）以及对“秩-迹”界的应用。

4. 素数侧（无条件评估）：
   利用 Weil 公式中的“素数侧”来评估 $\text{tr}(\tilde{G})$ 和平方 Frobenius 范数 $\|\tilde{G}\|_{HS}^2$。

   • $\text{tr}(\tilde{G})$ 被证明渐近等于 $N(T, 2T)$。
   • $\|\tilde{G}\|_{HS}^2$ 通过计算一个狄利克雷多项式的平均值来评估。这依赖于 Montgomery–Vaughan 不等式以及对 $\Lambda(n)^2$ 之和的估计。
   • 结果为 $\|\tilde{G}\|_{HS}^2 = (R(\psi) + o(1))N(T, 2T)$，其中 $R(\psi)$ 是取决于窗口函数的常数。对于指示窗口， $R(\psi_0) = 4/3$。

主要贡献与结果
论文确立了以下关于区间 $(T, 2T)$ 的无条件结果：

• 定理 A(i)： 至少有 $2/3$（具体为 $2/3 - o(1)$）的非平凡零点是单零点且位于临界线上。
  • 使用 Montgomery–Taylor 窗口，该常数可提高至 $0.6725$。
• 定理 A(ii)： 至少有 $5/6$（具体为 $5/6 - o(1)$）的非平凡零点是不同且位于临界线上的。
  • 使用 Montgomery–Taylor 窗口，该常数可提高至 $0.8362$。
• 定理 B： 这些结果可以原封不动地推广到原始狄利克雷 $L$-函数 $L(s, \chi)$。

证明过程未使用软化因子（mollifiers）、零点密度估计或无零区域。它依赖于显式公式、Stirling 公式、Chebyshev–Mertens 估计以及 Montgomery–Vaughan 不等式。

意义与声明

• 使蒙哥马利的推导变为无条件： 本文声称实现了蒙哥马利 1973 年关于 $2/3$ 比例推导的无条件化。经典情况下，需要 RH 来确保将零点侧求和解释为实数序数的正和。在此，作者通过将 Weil 形式应用于有限压缩，用一种“秩-迹”不等式取代了这种正定性。
• 方法的优越性/最优性： 作者认为 $2/3$ 的界限对于这种特定方法是精确的。他们证明了，在仅给定矩阵的迹、Frobenius 范数和块结构的情况下，所使用的不等式是精确的。若要使用这种特定的“秩-迹”方法将界限提升至 $2/3$ 以上，则需要超出傅里叶支撑度 1 的配对相关信息（即关于素数侧更高阶矩的知识），而这在目前是无条件不可得的。
• 形式化验证： 该数学论证由人工智能（Claude）发现并编写，经人类作者验证，并在 Lean 4 中进行了形式化验证。形式化过程确认了该证明仅依赖于标准公理。
• 局限性： 论文明确说明了这些结果不是什么。这些仅是下界；剩余的零点并未被证明是在线之外，只是未被这种特定的证书捕捉到。该方法对 $o(N)$ 级别的离线零点是不敏感的，并且即使在满足相同算术输入的函数（例如 Davenport–Heilbronn zeta 函数）违反黎曼假设的情况下，该结论依然成立。

综上所述，本文提供了一个严谨的无条件证明，表明绝大多数（$>66\%$）Zeta 零点是单零点且位于临界线上，通过对显式公式进行创新的线性代数秩约束应用，达到了与蒙哥马利经典条件结果相匹配的界限。