More than two thirds of the zeta zeros are simple and on the critical line

Resumen Técnico: "Más de dos tercios de los ceros de la función zeta de Riemann son simples y están en la línea crítica"

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la distribución de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, $\zeta(s)$. Específicamente, busca cotas inferiores incondicionales para dos cantidades a medida que $T \to \infty$:

1. La proporción de ceros que yacen en la línea crítica ($\text{Re}(s) = 1/2$) que son simples (multiplicidad 1).
2. La proporción de ceros distintos (contando la multiplicidad como 1 independientemente del orden) que yacen en la línea crítica.

Antes de este trabajo, los récords incondicionales eran $5/12$ ($\approx 0.4167$) para ceros simples en la línea y $0.6603$ para ceros distintos. Bajo la Hipótesis de Riemann (RH), Montgomery (1973) dedujo que al menos $2/3$ de los ceros son simples en la línea, y trabajos posteriores mejoraron las cotas de ceros distintos. El desafío ha sido eliminar la dependencia de la RH, que históricamente era necesaria para asegurar la positividad del "lado de los ceros" de la fórmula explícita de Weil al sumar sobre ordenadas reales.

Metodología
La prueba construye una aproximación de dimensión finita de la fórmula explícita de Weil y aplica desigualdades de rango-traza de álgebra lineal para eludir la necesidad de la RH.

1. La Fórmula Explícita de Weil y Formas Hermíticas:
   Los autores utilizan la fórmula explícita de Weil para definir una forma hermítica $W(f, g) = \sum_\rho m_\rho \hat{f}(\gamma_\rho) \overline{\hat{g}(\gamma_\rho)}$ sobre funciones de prueba. La positividad de esta forma en todas las funciones de soporte compacto es equivalente a la RH.
   En lugar de asumir la positividad, los autores restringen esta forma a una familia específica de funciones moduladas de dimensión $d \approx N(T, 2T)$ (una "ventana" $\psi$) espaciadas sobre el intervalo $[T, 2T]$. Esto produce una matriz real simétrica $\tilde{G}$ de tamaño $d \times d$.

2. Descomposición de la Matriz (El Lado de los Ceros):
   La matriz $\tilde{G}$ se descompone en $\tilde{G} = P + Q + E$, donde:

• $P$ representa las contribuciones de los ceros en la línea crítica.
• $Q$ representa las contribuciones de pares fuera de la línea $\{\rho, 1-\bar{\rho}\}$.
• $E$ es un término de cola con norma de traza pequeña.

Crucialmente, los autores analizan el rango y el índice positivo (número de autovalores positivos) de estos componentes:

• Cada cero simple en la línea contribuye con rango 1 a $P$.
• Cada par fuera de la línea contribuye con un bloque de firma $(1, 1)$ a $Q$, lo que significa que contribuye con 1 al índice positivo $n_+(Q)$ pero 0 al rango de la parte "en la línea".
• Esta visión estructural, atribuida a Bombieri, permite a los autores acotar el número de pares fuera de la línea utilizando el índice positivo de $Q$.

3. Desigualdad de Rango-Traza (La Innovación Central):
   El artículo introduce una desigualdad de álgebra lineal específica (Lema 3.2) para matrices hermíticas $P_1 \succeq 0$ y $Q'$:
   $$\text{rank}(P_1) \ge 2\text{tr}(P_1) + 4\text{tr}(Q') - 4n_+(Q') - \|P_1 + Q'\|_{HS}^2$$
   Al establecer $P_1$ como la parte de $P$ correspondiente a los ceros simples en la línea y $Q'$ como el resto, los autores derivan una cota inferior para el número de ceros simples en la línea ($N_s^0$) puramente en términos de la traza y la norma de Frobenius de $\tilde{G}$ y el conteo de pares fuera de la línea. Esto reemplaza el requisito clásico de positividad término a término (que falla fuera de la línea) con una cota de "rango-traza".

4. El Lado de los Primos (Evaluación Incondicional):
   La traza $\text{tr}(\tilde{G})$ y la norma de Frobenius al cuadrado $\|\tilde{G}\|_{HS}^2$ se evalúan utilizando el "lado de los primos" de la fórmula de Weil.

• Se demuestra que $\text{tr}(\tilde{G})$ es asintóticamente $N(T, 2T)$.
• $\|\tilde{G}\|_{HS}^2$ se evalúa como un valor medio de un polinomio de Dirichlet. Esto depende de la desigualdad de Montgomery–Vaughan y de las cotas sobre las sumas de $\Lambda(n)^2$.
• El resultado es $\|\tilde{G}\|_{HS}^2 = (R(\psi) + o(1))N(T, 2T)$, donde $R(\psi)$ es una constante que depende de la función ventana. Para la ventana indicadora, $R(\psi_0) = 4/3$.

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo establece los siguientes resultados incondicionales para el intervalo $(T, 2T)$:

• Teorema A(i): Al menos $2/3$ (específicamente $2/3 - o(1)$) de los ceros no triviales son simples y yacen en la línea crítica.
  • Usando la ventana de Montgomery–Taylor, esta constante mejora a $0.6725$.
• Teorema A(ii): Al menos $5/6$ (específicamente $5/6 - o(1)$) de los ceros no triviales son distintos y yacen en la línea crítica.
  • Usando la ventana de Montgomery–Taylor, esta constante mejora a $0.8362$.
• Teorema B: Estos resultados se extienden de forma idéntica a las funciones $L$ de Dirichlet primitivas $L(s, \chi)$.

La prueba no utiliza mollifiers, estimaciones de densidad de ceros, ni regiones de ceros libres. Se basa en la fórmula explícita, la estimación de Stirling, las estimaciones de Chebyshev–Mertens y la desigualdad de Montgomery–Vaughan.

Significado y Reivindicaciones

• Hacer la Deducción de Montgomery Incondicional: El artículo afirma que hace incondicional la deducción de Montgomery de $2/3$ de los ceros. Clásicamente, la RH era necesaria para interpretar la suma del lado de los ceros como una suma positiva sobre ordenadas reales. Aquí, los autores reemplazan esta positividad con una desigualdad de rango-traza aplicada a una compresión finita de la forma de Weil.
• Optimidad del Método: Los autores argumentan que la cota de $2/3$ es óptima para este método específico. Demuestran que la desigualdad utilizada es exacta dado solo el traza, la norma de Frobenius y la estructura de bloques de la matriz. Mejorar la cota más allá de $2/3$ usando este enfoque específico de "rango-traza" requeriría información de la correlación de pares más allá del soporte de Fourier 1 (es decir, conocimiento de los momentos superiores del lado de los primos), la cual no está disponible incondicionalmente en la actualidad.
• Verificación Formal: El argumento matemático fue descubierto y escrito por una IA (Claude), verificado por autores humanos y verificado formalmente en Lean 4. La formalización confirma que la prueba depende únicamente de axiomas estándar.
• Limitaciones: El artículo establece explícitamente qué es lo que sus resultados no son. Son solo cotas inferiores; los ceros restantes no se prueban como fuera de la línea, sino simplemente no capturados por este certificado específico. El método es insensible a los ceros fuera de la línea de orden $o(N)$ y también se mantendría para funciones donde la Hipótesis de Riemann es falsa (por ejemplo, las funciones zeta de Davenport–Heilbronn), siempre que se cumplan los datos aritméticos.

En resumen, el artículo proporciona una prueba incondicional rigurosa de que una mayoría significativa ($>66\%$) de los ceros de la función zeta son simples y están en la línea crítica, logrando una cota que iguala el resultado condicional clásico de Montgomery mediante una aplicación novedosa de restricciones de rango algebraico lineal a la fórmula explícita.