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Model-Free Based Computations of Recursive Control Barrier Function: Ultra-Local Model Approach

本文提出了一种利用超局部模型方法和在线动力学估计来计算递归控制障碍函数的无模型框架，用于在具有未知动力学和高相对阶的非线性系统中实施安全约束，并已在自适应巡航控制基准测试上进行了验证。

原作者： Loïc Michel, Ricardo de Castro, Joseph Moyalan, Iman Ebrahimi, Jean-Pierre Barbot

发布于 2026-08-18

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原作者： Loïc Michel, Ricardo de Castro, Joseph Moyalan, Iman Ebrahimi, Jean-Pierre Barbot

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

在工程领域，确保机器安全往往是一场与未知的战斗。无论是驾驶在雨中高速公路上的自动驾驶汽车，还是组装精密电子元件的机械臂，控制器都必须确保系统绝不会偏离到危险区域。几十年来，工程师们一直依赖于描述这些机器如何运动的精确数学蓝图来构建此类安全网。这些被称为“系统模型”的蓝图就像一张地图，告诉计算机当踩下刹车或转动方向盘时，车辆会如何反应。然而，在物理世界的混乱现实中，这些地图很少是完美的。天气变化、零件磨损以及意外的颠簸都会产生，从而在地图与实际领地之间制造差距。当地图出错时，安全网可能会失效，导致事故。这就是为什么研究人员越来越多地寻找无需完美世界地图，而是依靠机器在当前时刻实际表现的方式，来保持系统安全。

一个研究小组开发了一种解决此问题的新方法，创建了一种能够在无需预先编写机器行为模型的情况下，进行实时学习和适应的安全系统。他们的研究方法详述于最近的一项研究中，重点关注一个被称为“控制障碍函数”（Control Barrier Function）的概念。可以将它想象成一个围绕在机器安全区域周围的、透明且灵活的墙。如果机器开始向这面墙漂移，系统会自动调整控制量，将其推回安全地带。传统上，计算这面墙应该位于何处需要了解机器的确切物理特性。如果物理特性未知或发生变化，计算就会失败。由 L. Michel 及其同事领导的研究人员提出了另一种方法。他们没有去猜测物理特性，而是使用了一种称为“超局部模型”（ultra-local model）的技术。这是一个关于机器当前如何运动的简单、短期的快照，随着新数据的不断进入而持续更新。它忽略了机器复杂的长期历史，而只关注控制输入与产生的运动之间的即时关系。

他们发现的核心在于一种将这种简单的实时快照转化为稳健安全保证的方法。研究人员意识到，由于他们是在动态估算机器的行为，因此总会存在一定程度的不确定性，就像透过一扇模糊的窗户在观察。他们的创新在于量化这种“模糊感”。他们开发了一种计算“安全裕度”的方法，当机器运动异常或估算不确定时，该裕度会变得更大。这个裕度充当了一个缓冲器，每当系统对正在发生的情况感到不确定时，就会将无形的安全性墙推离实际危险区。通过这样做，系统变得更难被意外干扰或建模误差所欺骗。研究人员测试了管理这一过程的两种不同方式。第一种方法根据稳定的数据流不断微调安全计算；而第二种方法则同时测试几种不同的设置，并选择在那个特定时刻能提供最安全结果的一种。

为了验证这个想法在实践中是否有效，该团队进行了一系列计算机模拟。他们选择了一个作为安全系统标准测试的场景：汽车的自适应巡航控制系统。在这项测试中，一辆车正在跟随另一辆车，目标是保持安全距离。研究人员引入了一个棘手的局面：前方的汽车突然减速，且后方车辆的参考信号被临时设定为一个过近且不安全的距离。在依赖固定模型的传统系统中，这可能会导致碰撞，因为模型可能无法对突发变化做出足够快速的反应。然而，新系统处理这种情况的方式不同。通过不断更新其对汽车运动的理解，并在不确定性较高时扩大其安全缓冲，该系统成功防止了汽车靠得太近。它覆盖了标准控制器的不安全指令，并将车辆保持在安全区域内，尽管它对汽车的重量、空气动力学或发动机特性并无精确了解。

模拟结果揭示了系统在压力下表现的一些重要细节。当研究人员测试连续调整方法时，他们发现如果安全规则设置得过于严格，系统有时会在应对突发变化时显得力不从心，偶尔会导致汽车漂移进危险区。相比之下，同时测试多种设置的方法证明了其更强的韧性。它表现得像一个快速的决策者，每当情况变得危急时，会立即切换到最可靠的设置。这种方法使汽车在所有不同的测试场景中都能保持安全，即使研究人员故意将安全规则设得非常严苛。研究表明，通过将简单的实时运动估算与动态安全缓冲相结合，可以创建一个既安全又具适应性的控制器。研究结果并非针对所有可能机器的最终解决方案，但它们提供了强有力的证据，证明这种无模型方法在物理特性难以确定的复杂系统中运作良好。

这项工作的意义不仅限于汽车领域。研究人员指出，这种方法对于任何安全至关重要但底层动力学复杂或难以理解的系统（如电池充电系统或能源网）都具有价值。在这些领域，能量流动的规则会根据温度、老化程度和负载而变化，使得传统的模型难以维护。通过使用一种能够动态学习行为并建立自身安全裕度的系统，工程师可以在无需预先解出所有方程的情况下，设计出更安全、更高效的技术。研究结论认为，尽管背后的数学原理非常复杂，但其结果是一个实用的工具，允许机器带着信心应对未知。它代表了一种从依赖完美知识向依赖智能实时适应的转变，确保即使在地图不完整的情况下也能维持安全。

技术摘要：基于超局部模型的递归控制障碍函数无模型计算

问题陈述

控制障碍函数（Control Barrier Functions, CBFs）提供了一个系统性的框架，通过保证预设安全集的正向不变性，为非线性控制系统实施安全约束。然而，标准的 CBF 实现通常依赖于精确的系统模型来计算李导数并强制执行安全约束。在涉及显著建模不确定性、未建模动力学或外部扰动的现实场景中，这些依赖模型的方案可能会失效或变得过于保守。

现有的无模型或数据驱动替代方案（例如使用神经网络或高斯过程）通常难以在不引入显著计算负担或不需要大量训练数据的情况下，提供严格的实时安全保证。此外，尽管超局部模型（Ultra-Local Models, ULMs）已成功应用于无模型控制，但以往在安全关键上下文中使用 ULM 的应用往往依赖于瞬时估计，而没有显式地量化重建动力学过程中的不确定性。因此，估计误差、测量噪声和导数近似对安全约束的影响并未被显式传播，这可能损害安全保证。

方法论

本文提出了一种基于**超局部模型（ULM）**方法的递归控制障碍函数无模型计算框架。其核心理念是利用低阶输入输出表示来近似系统的局部行为，并进行持续的在线更新，同时显式考虑不确定性边界。

1. 带有不确定性量化的超局部建模

系统不再使用显式的系统模型 $\dot{x} = f(x) + g(x)u$ ，而是由一个单输入单输出（SISO）超局部模型进行近似：
$y^{(\nu)}(t) \approx F(t) + \beta u(t) + \Delta_m(t)$
其中：

$y^{(\nu)}$ 是输出的 $\nu$ 阶导数（选择与安全约束的相对阶数匹配或超过该阶数）。
$F(t)$ 聚合了未知的动力学、非线性项和扰动。
$\beta$ 是缩放控制输入的非零常数。
$\Delta_m(t)$ 代表不确定性边界。

$F(t)$ 通过数值微分（具体采用齐次半隐式微分器以处理噪声）进行在线估计。至关重要的是，该框架引入了一个动态不确定性边界 $\hat{\Delta}_m(t)$ 来量化估计误差。该边界通过在滑动窗口上应用 Welford 算法来计算，从而得出残差的均值 ( $\mu$ ) 和方差 ( $\sigma^2$ )。

本文提出了三种定义不确定性边界 $\hat{\Delta}_m$ 的策略：

方法 A： 一种空间几何方法，其边界随系统与安全边界的接近程度而缩放。
方法 B： 将空间几何惩罚项与统计方差相结合，以防御瞬态尖峰。
方法 C： 完全依赖于统计方差阈值 ( $|\mu| + \kappa|\sigma|$ )。

2. 鲁棒 CBF 公式化

所提出的框架通过引入不确定性边界来修改标准的 CBF 条件，有效地将安全边界移动到一个更具限制性的“虚拟”边界。

对于相对阶为 1 的情况，条件变为 $\hat{F} + \beta u \geq -k_c(y - y_{min} - \hat{\Delta}_m/k_c)$ 。
对于相对阶为 2（递归 CBF）的情况，该公式结合了二阶导数，并同样通过不确定性项进行调整。

这种公式化形式允许 CBF 在不确定性较高或系统靠近边界时提前激活约束，从而预判安全违规。

3. 两种控制策略

本文提出了两种不同的确定控制输入 $u$ 的策略：

策略 1（基于梯度的 ULM-CBF）： 使用两时间尺度随机梯度下降法递归估计参数 $\hat{F}$ 和 $\hat{\beta}$ 。控制输入通过求解二次规划（QP）获得，该 QP 在满足鲁棒 CBF 约束的同时，使偏差相对于标称控制器最小化。
策略 2（基于网格的 ULM-CBF）： 该方法不再使用单一的在线估计，而是并行评估一系列离散的候选 $\beta$ 值。对于每个候选值，都会求解一个鲁棒 CBF-QP。通过一个选择准则（最小化控制能量、不确定性边界能量、控制变化量以及参数变化量）来选择最安全的控制输入及其对应的 $\beta$ 索引。该策略旨在通过选择最适合当前运行状态的输入-输出缩放系数，来提供结构化鲁棒性。

核心贡献

无模型递归 CBF： 开发了一种框架，无需显式的系统模型，而是依靠在线 ULM 估计来构建高阶（递归）CBF。
显式不确定性传播： 引入了一种在 CBF 约束中显式量化并传播估计不确定性 ( $\hat{\Delta}_m$ ) 的方法，将安全边界转化为动态的、感知不确定性的虚拟边界。
双策略实现： 提出了既包含梯度自适应方法又包含网格选择方法的方案，在计算简单性与对抗估计不一致性的鲁棒性之间提供了权衡。
基准测试验证： 在一阶演示示例和二阶自适应巡航控制（ACC）基准测试上验证了该方法，展示了即使在标称参考轨迹违反安全约束时仍能保持安全的能力。

仿真结果

本文通过两个仿真场景验证了该方法：

一阶系统： 进行了一项参数研究，比较了两种策略在不同的 CBF 刚度 ( $k_c$ ) 和几何惩罚 ( $\epsilon_p$ ) 参数下的表现。
- 结论： 策略 1（梯度法）对参数调优较为敏感，当刚度过高或惩罚厚度过低时，某些配置会导致约束违规（安全性丧失）。策略 2（网格法）表现出更优越的鲁棒性，通过瞬时选择最优的模型参数，在所有测试配置下均能稳定维持安全裕度。
- 观察： 网格法有效地将约束强制执行与经验调优参数解耦，特别是在使用仅统计不确定性边界（方法 C）时。
自适应巡航控制 (ACC)： 使用了一个代表车辆纵向动力学的二阶系统来追踪车间距离。
- 场景： 临时修改了参考轨迹，使其违反了最小安全距离。
- 结果： 仅靠标称控制器会将系统推入不安全状态。而所提出的基于 CBF 的控制器成功覆盖了标称动作，在不依赖精确车辆模型的情况下，将车间距离维持在安全阈值之上。
- 性能： 网格策略成功地实时调整缩放参数 $\beta$ ，以应对变化的空气阻力和滚动阻力，确保了鲁棒的安全执行。

意义与主张

作者声称，这项工作提供了一个系统性的框架，用于为具有显著建模不确定性的系统实施高相对阶的安全保障，且无需精确的系统模型。

鲁棒性： 不确定性的显式传播使得系统即使在存在估计误差和测量噪声时也能保持安全，解决了以往无模型 CBF 应用中的一个关键局限。
预判性： 通过基于不确定性移动安全边界，控制器可以预判并在安全违规发生前进行拦截。
适用性： 该方法特别适用于动力学复杂或难以获知的安全关键应用，如汽车系统（ACC）以及潜在的能源系统（例如电池充电，其中需要执行电压、电流、温度等安全约束，但无法依赖详细的电化学模型）。

文章最后指出，虽然网格策略提供了增强的鲁棒性和更简单的调优，但整个框架为通过显式考虑估计误差来推导无模型控制的正式安全保证开辟了新方向。