Resumen Técnico: Computaciones de Funciones de Barrera de Control Recursivas Basadas en Modelos Libres de Modelo: Enfoque de Modelo Ultra-Local

Declaración del Problema

Las Funciones de Barrera de Control (CBF, por sus siglas en inglés) ofrecen un marco sistemático para imponer restricciones de seguridad en sistemas de control no lineales, garantizando la invariancia hacia adelante de un conjunto seguro prescrito. Sin embargo, las implementaciones estándar de CBF suelen depender de modelos de sistemas precisos para calcular las derivadas de Lie e imponer las restricciones de seguridad. En escenarios del mundo real que involucran incertidumbres significativas en el modelo, dinámicas no modeladas o perturbaciones externas, estos enfoques dependientes del modelo pueden fallar o volverse excesivamente conservadores.

Las alternativas existentes libres de modelo o basadas en datos, como aquellas que utilizan redes neuronales o Procesos Gaussianos, a menudo luchan por proporcionar garantías de seguridad rigurosas y en tiempo real sin introducir cargas computacionales significativas o requerir extensos datos de entrenamiento. Además, aunque los modelos ultra-locales (ULM) se han utilizado con éxito para el control libre de modelo, las aplicaciones previas de los ULM en contextos críticos para la seguridad suelen depender de estimaciones instantáneas sin cuantificar explícitamente la incertidumbre asociada con la reconstrucción de la dinámica. En consecuencia, el impacto de los errores de estimación, el ruido de medición y las aproximaciones de derivadas no se propaga explícitamente en las restricciones de seguridad, lo que potencialmente compromete las garantías de seguridad.

Metodología

El artículo propone un marco libre de modelo para computar Funciones de Barrera de Control recursivas basadas en el enfoque de Modelo Ultra-Local (ULM). La filosofía central es aproximar el comportamiento local del sistema utilizando una representación de entrada-salida de bajo orden que se actualiza continuamente en línea, contabilizando explícitamente los límites de incertidumbre.

1. Modelado Ultra-Local con Cuantificación de Incertidumbre

En lugar de un modelo de sistema explícito $\dot{x} = f(x) + g(x)u$, el sistema se aproxima mediante un modelo ultra-local SISO:
$$y^{(\nu)}(t) \approx F(t) + \beta u(t) + \Delta_m(t)$$
donde:

• $y^{(\nu)}$ es la $\nu$-ésima derivada de la salida (elegida para coincidir o exceder el grado relativo de la restricción de seguridad).
• $F(t)$ agrega la dinámica desconocida, las no linealidades y las perturbaciones.
• $\beta$ es una constante no nula que escala la entrada de control.
• $\Delta_m(t)$ representa el límite de incertidumbre.

El término $F(t)$ se estima en línea utilizando diferenciación numérica (específicamente diferenciadores semi-implícitos homogéneos) para manejar el ruido. Crucialmente, el marco introduce un límite de incertidumbre dinámico $\hat{\Delta}_m(t)$ para cuantificar el error de estimación. Este límite se calcula utilizando un algoritmo de Welford sobre una ventana deslizante de residuos, calculando tanto la media ($\mu$) como la varianza ($\sigma^2$) del error de estimación.

Se proponen tres estrategias para definir el límite de incertidumbre $\hat{\Delta}_m$:

• Método A: Un enfoque espacio-geométrico donde el límite escala basándose en la proximidad del sistema al límite de seguridad.
• Método B: Combina la penalización espacio-geométrica con la varianza estadística para proteger contra picos transitorios.
• Método C: Se basa únicamente en un umbral de varianza estadística ($|\mu| + \kappa|\sigma|$).

2. Formulación de CBF Robusta

El marco propuesto modifica la condición estándar de CBF para incluir el límite de incertidumbre, desplazando efectivamente el límite de seguridad hacia un "límite virtual" que es más restrictivo.

• Para Grado Relativo 1, la condición se convierte en $\hat{F} + \beta u \geq -k_c(y - y_{min} - \hat{\Delta}_m/k_c)$.
• Para Grado Relativo 2 (CBFs recursivas), la condición incorpora la segunda derivada y es similarmente ajustada por el término de incertidumbre.

Esta formulación permite que la CBF anticipe violaciones de seguridad activando las restricciones más temprano cuando la incertidumbre es alta o el sistema está cerca del límite.

3. Dos Estrategias de Control

El artículo presenta dos estrategias distintas para determinar la entrada de control $u$:

• Estrategia 1 (ULM-CBF Basada en Gradiente): Utiliza un descenso de gradiente estocástico de dos escalas temporales para estimar recursivamente los parámetros $\hat{F}$ y $\hat{\beta}$. La entrada de control se deriva resolviendo un programa cuadrático (QP) que minimiza la desviación de un controlador nominal mientras satisface la restricción de CBF robusta.
• Estrategia 2 (ULM-CBF Basada en Rejilla): En lugar de una única estimación en línea, este enfoque evalúa una rejilla discreta de valores candidatos de $\beta$ en paralelo. Para cada candidato, se resuelve un CBF-QP robusto. Se utiliza un criterio de selección (minimizando la energía de control, la energía del límite de incertidumbre, la variación del control y la variación del parámetro) para seleccionar la entrada de control más segura y el índice $\beta$ correspondiente. Esta estrategia busca proporcionar robustez estructural seleccionando la escala de entrada-salida más adecuada para el régimen operativo actual.

Principales Contribuciones

1. CBF Recursiva Libre de Modelo: El desarrollo de un marco que construye CBFs de alto orden (recursivas) sin requerir un modelo explícito del sistema, apoyándose en la estimación ULM en línea.
2. Propagación Explícita de la Incertidumbre: La introducción de un método para cuantificar y propagar explícitamente la incertidumbre de estimación ($\hat{\Delta}_m$) dentro de la restricción de la CBF, transformando el límite de seguridad en un límite virtual dinámico y consciente de la incertidumbre.
3. Implementación de Doble Estrategia: La propuesta de un método de adaptación basado en gradiente y un método de selección basado en rejilla, ofreciendo un compromiso entre simplicidad computacional y robustez contra inconsistencias de estimación.
4. Validación en Benchmarks: Demostración del enfoque en un ejemplo ilustrativo de primer orden y un benchmark de Control de Crucero Adaptativo (ACC) de segundo orden, mostrando la capacidad de mantener la seguridad incluso cuando la referencia nominal viola las restricciones de seguridad.

Resultados de Simulación

El artículo valida el enfoque a través de dos escenarios de simulación:

• Sistema de Primer Orden: Un estudio paramétrico comparó las dos estrategias bajo variaciones de los parámetros de rigidez de la CBF ($k_c$) y de penalización geométrica ($\epsilon_p$).

  • Hallazgos: La Estrategia 1 (Gradiente) mostró sensibilidad a la sintonización de parámetros, con ciertas configuraciones que llevaron a violaciones de restricciones (pérdida de seguridad) cuando la rigidez era alta o el espesor de la penalización era bajo. La Estrategia 2 (Rejilla) demostró una robustez superior, manteniendo consistentemente los márgenes de seguridad en todas las configuraciones probadas mediante la selección instantánea de los parámetros óptimos del modelo.
  • Observación: El enfoque basado en rejilla efectivamente desacopló la imposición de restricciones de los parámetros de sintonización empíricos, particularmente cuando se utilizaba el límite de incertidumbre puramente estadístico (Método C).

• Control de Crucero Adaptativo (ACC): Se utilizó un sistema de segundo orden que representa la dinámica longitudinal de un vehículo para seguir la distancia intervehicular.

  • Escenario: La trayectoria de referencia fue modificada temporalmente para violar la distancia mínima de seguridad.
  • Resultado: El controlador nominal por sí solo habría llevado al sistema a un estado inseguro. El controlador basado en CBF propuesto logró anular la acción nominal, manteniendo la distancia intervehicular por encima del umbral de seguridad sin depender de un modelo preciso del vehículo.
  • Desempeño: La estrategia de rejilla logró adaptar exitosamente el parámetro de escala $\beta$ en tiempo real para manejar variaciones en las fuerzas de resistencia aerodinámica y de rodadura, asegurando una ejecución de seguridad robusta.

Significado y Reivindicaciones

Los autores afirman que este trabajo proporciona un marco sistemático para imponer la seguridad en sistemas con grados relativos superiores y dudas significativas en el modelo, sin necesidad de modelos de sistema precisos.

• Robustez: La propagación explícita de la incertidumbre permite que el sistema permanezca seguro a pesar de los errores de estimación y el ruido de medición, abordando una limitación clave de las aplicaciones de CBF libres de modelo anteriores.
• Anticipación: Al desplazar el límite de seguridad basándose en la incertidumbre, el controlador puede anticipar y prevenir violaciones de seguridad antes de que ocurran.
• Aplicabilidad: El enfoque se presenta como particularmente relevante para aplicaciones críticas de seguridad donde las dinámicas son complejas o poco conocidas, como los sistemas automotrices (ACC) y potencialmente los sistemas de energía (por ejemplo, carga de baterías), donde las restricciones de seguridad (voltaje, corriente, temperatura) deben imponerse sin modelos electroquímicos detallados.

El artículo concluye que, si bien la estrategia basada en rejilla ofrece una mayor robustez y una sintonización más simple, el marco en su conjunto abre nuevas direcciones para derivar garantías de seguridad formales en el control libre de modelo al contabilizar explícitamente los errores de estimación.