Eigenvalue homogenization for the $p-$Laplacian with rapidly oscillating $L^q$ weights

技术摘要：具有快速振荡 $L^q$ 权重的 $p$-Laplacian 的特征值同质化

问题陈述
本文研究了受快速振荡权重函数（$\rho_\varepsilon$）和势函数（$V_\varepsilon$）影响的 $p$-Laplacian 算子的变分特征值的收敛行为与收敛速率。研究针对有界开集 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$（$n \ge 1$，具有 Lipschitz 边界）下的 Dirichlet 和 Neumann 边界条件进行了探讨。

主要问题（Dirichlet 情况记为 $(D_\varepsilon)$）由下式给出：
$$\begin{cases} -\Delta_p u_\varepsilon + V_\varepsilon |u_\varepsilon|^{p-2}u_\varepsilon = \lambda_\varepsilon \rho_\varepsilon |u_\varepsilon|^{p-2}u_\varepsilon & \text{in } \Omega \\ u_\varepsilon = 0 & \text{on } \partial\Omega \end{cases}$$
其中 $\Delta_p u = \text{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$，$p > 1$，且 $\lambda_\varepsilon$ 为特征值，其对应的特征函数为 $u_\varepsilon$。序列 $\{\rho_\varepsilon\}$ 和 $\{V_\varepsilon\}$ 属于 $L^q(\Omega)$ 且一致正定。研究考虑了两种情形：

1. 一般序列：$\rho_\varepsilon \rightharpoonup \rho_0$ 且 $V_\varepsilon \rightharpoonup V_0$ 在 $L^q(\Omega)$ 中（或在 $L^\infty$ 中）弱收敛。
2. 周期序列：$\rho_\varepsilon(x) = \rho(x/\varepsilon)$ 且 $V_\varepsilon(x) = V(x/\varepsilon)$，其中 $\rho$ 和 $V$ 是 $Q$-周期函数（$Q$ 为单位立方体）。

极限问题 $(D_0)$ 的系数 $\rho_0$ 和 $V_0$ 为周期函数的平均值。

方法论
分析依赖于使用极小极大方法（Krasnoselskii 亏格）的特征值变分表征。其核心技术贡献在于对如下形式的振荡积分进行详细检查：$\int_\Omega (\rho_\varepsilon - \bar{\rho})|u|^p dx$。

1. 振荡积分估计：作者利用缩放立方体上的 Poincaré 型不等式以及 Sobolev/Morrey 嵌入，推导出了这些积分的显式界限。

   • 对于 Dirichlet 情况（$u \in W^{1,p}_0(\Omega)$），命题 3.2 确立了该积分受限于 $C\varepsilon^\alpha \|\rho_\varepsilon - \bar{\rho}\|_{L^q} \|\nabla u\|_{L^p}^p$。指数 $\alpha$ 取决于 $p, n$ 与 $q$ 之间的关系。
   • 对于 Neumann 情况（$u \in W^{1,p}(\Omega)$），命题 3.4 通过管状邻域论证处理了边界层效应，得出了一个涉及 $\varepsilon^{1-1/q}$ 的界限。

2. 变分扰动：通过比较扰动问题 $(D_\varepsilon)$ 与极限问题 $(D_0)$ 的瑞利商来导出收敛速率。对振荡积分的估计使得作者能够控制特征值 $\lambda_{k,\varepsilon}$ 与 $\lambda_{k,0}$ 之间的差异。

3. 一维归约：对于特定的一维加权 $p$-Laplacian，其主部包含振荡系数（即 $-(a(x/\varepsilon)|u'|^{p-2}u')' = \lambda \rho(x/\varepsilon)|u|^{p-2}u$），作者采用了变量代换法。这种变换将问题简化为带有右端项振荡权重的标准 $p$-Laplacian 问题，从而可以应用先前推导出的估计。

主要贡献与结果

• 特征值收敛性：本文证明了对于满足特定可积性条件的一般序列（当 $1 < p \le n$ 时为 $n/p < q \le \infty$，当 $p > n$ 时为 $q=1$），第 $k$ 个变分特征值 $\lambda_{k,\varepsilon}$ 在 $\varepsilon \to 0$ 时收敛至 $\lambda_{k,0}$，这对于 Dirichlet 和 Neumann 边界条件均成立（定理 4.1 和 4.5）。

• 显式收敛速率（周期情形）：

  • Dirichlet 情况：对于周期权重，论文确立了速率：
    $$|\lambda_{k,0} - \lambda_{k,\varepsilon}| \le C \varepsilon^\alpha \left( \lambda_{k,0} \|V_\varepsilon - \bar{V}\|_{L^q} + \lambda_{k,0}^2 \|\rho_\varepsilon - \bar{\rho}\|_{L^q} \right)$$
    其中 $\alpha = p - n/q$（若 $n/p < q \le \infty, 1 < p \le n$）或 $\alpha = 1 - n/p$（若 $q=1, p > n$）。
  • Neumann 情况：对于 $1 < p \le n$ 且 $(n-1)/(p-1) < q \le \infty$，类似的估计成立，其中 $\alpha = 1 - 1/q$。
  • 对 $k$ 的依赖性：利用极限问题的 Weyl 估计，作者推导出了显式依赖于特征值指数 $k$ 的速率，表明对于势函数项和权重项，其增长阶分别为 $k^{p/n}$ 和 $k^{2p/n}$（推论 4.4）。

• 一维加权算子：论文讨论了振荡发生在算子一维主部中的情况。通过将其归约为标准形式，证明了收敛性并提供了取决于 $1/\varepsilon$ 是否为整数的具体速率（定理 5.4）。

意义与范围
本文声称扩展了文献中已知的关于特征值同质化的结果。

• 它将现有的线性情况（$p=2$）及特定的周期设置的估计结果推广到了具有更广泛可积指数 $q$ 的非线性 $p$-Laplacian。
• 它提供了对特征值指数 $k$ 和振荡参数 $\varepsilon$ 的显式依赖关系，精炼了此前在 [21, 24, 26] 等关于线性情况以及 [9, 10, 23] 关于非线性周期情况的研究中所发现的数量级估计。
• 这些结果适用于涉及复合材料、最优设计和形状优化的问题，通过提供关于快速振荡材料属性如何影响谱性质的严格界限，体现了其应用价值。

作者指出，其结果对于满足特定结构条件（Carathéodory 条件、强制性、单调性等）的更广泛类准线性算子也成立，尽管为了符号简洁，手稿重点讨论了 $p$-Laplacian。