Eigenvalue homogenization for the $p-$Laplacian with rapidly oscillating $L^q$ weights

技術要約：急速に振動する $L^q$ 重みを持つ $p$-ラプラシアンの固有値の同次化

問題設定
本論文は、急速に振動する重み関数（$\rho_\varepsilon$）およびポテンシャル（$V_\varepsilon$）を伴う $p$-ラプラシアン作用素の変分固有値の収束挙動と収束率について調査している。本研究では、有界な開集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ($n \ge 1$)（リプシッツ境界を持つ）におけるディリクレ境界条件およびノイマン境界条件の両方を扱う。

主要な問題は、ディリクレの場合、以下のように与えられる $(D_\varepsilon)$ である：
$$\begin{cases} -\Delta_p u_\varepsilon + V_\varepsilon |u_\varepsilon|^{p-2}u_\varepsilon = \lambda_\varepsilon \rho_\varepsilon |u_\varepsilon|^{p-2}u_\varepsilon & \text{in } \Omega \\ u_\varepsilon = 0 & \text{on } \partial\Omega \end{cases}$$
ここで $\Delta_p u = \text{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$ であり、$p > 1$ である。$\lambda_\varepsilon$ は固有値であり、$u_\varepsilon$ はその固有関数である。数列 $\{\rho_\varepsilon\}$ および $\{V_\varepsilon\}$ は $L^q(\Omega)$ に属し、一様に正である。本研究では、以下の2つのシナリオを検討する：

1. 一般の数列： $\rho_\varepsilon \rightharpoonup \rho_0$ および $V_\varepsilon \rightharpoonup V_0$ が $L^q(\Omega)$ において弱収束（または $L^\infty$ において弱*収束）する場合。
2. 周期的な数列： $\rho_\varepsilon(x) = \rho(x/\varepsilon)$ および $V_\varepsilon(x) = V(x/\varepsilon)$ であり、$\rho$ と $V$ は $Q$-周期関数（$Q$ は単位立方体）である場合。

極限問題 $(D_0)$ は、同次化された係数 $\rho_0$ および $V_0$ を用いる。周期的なケースでは、これらは周期関数の平均である。

手法
解析は、ミニマックス法（クラスンスキー・ジェネス）を用いた固有値の変分的特徴付けに基づいている。核心となる技術的貢献は、以下の形式の振動積分に関する詳細な検討である：$\int_\Omega (\rho_\varepsilon - \bar{\rho})|u|^p dx$。

1. 振動積分の評価： 著者らは、スケーリングされた立方体上のポアンカレ型不等式やソボレフ/モレー埋め込みを用いて、これらの積分の明示的な境界を導出している。

   • ディリクレの場合（$u \in W^{1,p}_0(\Omega)$）、命題 3.2 は、この積分が $C\varepsilon^\alpha \|\rho_\varepsilon - \bar{\rho}\|_{L^q} \|\nabla u\|_{L^p}^p$ によって抑えられることを確立している。指数 $\alpha$ は、$p, n, q$ の関係に依存する。
   • ノイマンの場合（$u \in W^{1,p}(\Omega)$）、命題 3.4 は、管状近傍の議論を用いて境界層効果を処理し、$\varepsilon^{1-1/q}$ を含む境界を与える。

2. 変分摂動： 摂動された問題 $(D_\varepsilon)$ と極限問題 $(D_0)$ のレイリー商を比較することによって、収束率が導かれる。振動積分の評価により、著者は固有値 $\lambda_{k,\varepsilon}$ と $\lambda_{k,0}$ の差を制御することができる。

3. 一次元への還元： 主部において振動する係数を持つ一次元の重み付き $p$-ラプラシアン（すなわち $-(a(x/\varepsilon)|u'|^{p-2}u')' = \lambda \rho(x/\varepsilon)|u|^{p-2}u$）の特定のケースに対して、著者は変数変換を用いる。この変換により、問題を右辺に振動する重みを持つ標準的な $p$-ラプラシアンへと還元することができ、先に導出した評価を適用することが可能となる。

主な貢献および結果

• 固有値の収束： 本論文は、特定の可積分条件（$1 < p \le n$ のとき $n/p < q \le \infty$、および $p > n$ のとき $q=1$）を満たす一般の数列に対して、$k$ 番目の変分固有値 $\lambda_{k,\varepsilon}$ が $\varepsilon \to 0$ のとき、ディリクレおよびノイマン境界条件の両方において $\lambda_{k,0}$ に収束することを証明している（定理 4.1 および 4.5）。

• 明示的な収束率（周期的なケース）：

  • ディリクレの場合： 周期的な重みに対し、論文は以下のレートを確立している：
    $$|\lambda_{k,0} - \lambda_{k,\varepsilon}| \le C \varepsilon^\alpha \left( \lambda_{k,0} \|V_\varepsilon - \bar{V}\|_{L^q} + \lambda_{k,0}^2 \|\rho_\varepsilon - \bar{\rho}\|_{L^q} \right)$$
    ここで $\alpha = p - n/q$ （$n/p < q \le \infty, 1 < p \le n$ の場合）または $\alpha = 1 - n/p$ （$q=1, p > n$ の場合）である。
  • ノイマンの場合： $1 < p \le n$ かつ $(n-1)/(p-1) < q \le \infty$ のとき、同様の評価が $\alpha = 1 - 1/q$ を伴って成立する。
  • $k$ への依存性： 極限問題の固有値に関するヴェイルの評価を用いることで、著者は固有値指数 $k$ に明示的に依存するレートを導出し、ポテンシャル項および重み項に対してそれぞれ $k^{p/n}$ および $k^{2p/n}$ のオーダーの成長を示す（系 4.4）。

• 一次元重み付き作用素： 論文は、一次元において主部に振動が生じるケースに対処している。この問題を標準的な形式に還元することにより、収束を証明し、$1/\varepsilon$ が整数であるか否かに依存する具体的なレートを提示している（定理 5.4）。

意義と範囲
本論文は、固有値の同次化に関する既存の文献における知見を拡張すると主張している。

• 線形の場合（$p=2$）および特定の周期的な設定から、より広い可積分指数 $q$ を持つ非線形 $p$-ラプラシアンへと、既存の評価を一般化している。
• 周期的なケースにおける、固有値指数 $k$ および振動パラメータ $\varepsilon$ への明示的な依存性を提示しており、線形の場合の [21, 24, 26] や、非線形周期的なケースの [9, 10, 23] における先行研究で見られるオーダーの評価を精緻化している。
• 結果は、複合材料、最適設計、および形状最適化に関連する問題に適用可能であり、導入部で述べられているように、急速に振動する材料特性がスペクトル特性にどのように影響するかについて厳密な境界を提供している。

著者は、結果が特定の構造条件（カラテオドリ、強圧性、単調性など）を満たすより広範な準線形作用素にも適用可能であると述べているが、記法の簡潔さのために本稿では $p$-ラプラシアンに焦点を当てている。