Equilibrium and nonequlibrium scaling behaviors of localization transition in a non-Hermitian Aubry-André model with onsite gain and loss

技术摘要：具有增益与损耗的非厄米 Aubry-André 模型中定域化转变的平衡态与非平衡态标度行为

问题陈述
尽管非厄米性与定域化之间的相互作用已引起广泛关注，但具有原位增益与损耗机制的非厄米系统在驱动动力学方面的研究仍处于空白。现有的非厄米 Aubry-André (AA) 模型研究主要集中在非互易跳跃机制上。然而，增益-损耗机制在光谱和拓扑特性上与非互易跳跃有着本质的区别（例如，扩展/定域相与实/复谱之间的对应关系是反转的）。此外，虽然 Kibble-Zurek 机制 (KZM) 和有限时间标度 (FTS) 已被应用于非厄米系统，但其对于具有能隙缺失初始态（扩展相）的增益-损耗机制模型的适用性仍需系统验证。

研究方法
作者研究了一个一维单粒子非厄米 AA 模型，该模型具有原位增益与损耗，由以下哈密顿量描述：
$$H = -J \sum_{j=1}^{L} (c^\dagger_j c_{j+1} + \text{H.c.}) + \sum_{j=1}^{L} V_n(j) c^\dagger_j c_j$$
其中原位势 $V_n(j) = V \cos(2\pi\gamma j + \phi)$ 通过相位 $\phi = \theta + ih$ 进行复数化，从而引入增益与损耗。系统尺寸 $L$ 使用斐波那契数进行近似，以满足热力学极限下的周期性边界条件 (PBC)。

本研究采用了两种主要的分析方法：

1. 静态临界行为：作者对三种可观测物理量进行了有限尺寸标度 (FSS) 分析：定域长度 ($\xi$)、反参与率 (IPR) 和能隙 ($E_g$)。通过将不同系统尺寸的数值数据在临界点附近塌缩到通用曲线上，提取了临界指数 ($\nu$, $s$, $z$)。
2. 驱动动力学：系统通过改变势能强度 $\varepsilon(t) = \varepsilon_0 + Rt$，线性地驱动穿过临界点。初始态被制备为无能隙的扩展态。作者测试了 FTS 框架对于具有能隙缺失初始态（扩展相）的适用性，前提是满足准则 $z' < r$（其中 $z'$ 表征初始相中的能隙闭合，$r = z + 1/\nu$）。

核心结果

• 临界指数与普适类：
  通过 FSS 分析，作者提取了增益-损耗 AA 模型的以下临界指数：

  • 相关长度指数：$\nu = 1.00(2)$
  • IPR 指数：$s = 0.7965(2)$
  • 动力学指数：$z = 1.999(2)$

  这些结果表明，增益-损耗 AA 模型属于一个独特的普适类，既不同于厄米 AA 模型，也不同于非互易跳跃 AA 模型。虽然 $\nu$ 和 $z$ 与非互易模型几乎相同，但 IPR 指数 $s$ 存在显著差异（非互易模型为 $s \approx 0.80$，厄米模型为 $s \approx 0.33$）。这表明在临界点处，波函数的多重分形性质对特定的非厄米机制高度敏感。

• 光谱与空间特性：
  相图确认了一条转变线 $h = \log(2J/V)$。与非互易模型不同，增益-损耗模型中的扩展相具有纯实数谱和平凡拓扑，而定域相则表现出复数谱和非平凡拓扑。波函数的空间分析显示，在 PBC 和开边界条件 (OBC) 下，定域相的波函数均呈现对称指数衰减，这与非互易模型中观察到的非对称皮肤效应定域化形成对比。

• 驱动动力学与 FTS 的有效性：
  作者验证了 FTS 框架对于从无能隙扩展态开始的增益-损耗模型仍然适用。

  • 扩展相中的能隙闭合指数发现为 $z' = 1.999(2)$。
  • 满足准则 $z' < r$，其中 $r = z + 1/\nu \approx 2.999$。
  • 对含时薛定谔方程的数值模拟证实了预测的 FTS 标度形式在广泛的系统尺寸和驱动速率 ($R$) 下对 IPR 的适用性。数据塌缩到与以下理论假设一致的通用曲线上：
    $$\text{IPR} \sim L^{-s/\nu} g_1(RL^r, \varepsilon R^{-1/r\nu}) \quad (\text{小 } R)$$
    $$\text{IPR} \sim L^{-1} R^{(s-\nu)/r\nu} g_2(RL^r, \varepsilon R^{-1/r\nu}) \quad (\text{大 } R)$$

意义与主张
本文的主张包含两个主要贡献：

1. 新的普适类：它确立了增益-损耗型非厄米 AA 模型作为一个新的普割类，其主要区别在于控制波函数多重分形性质的临界指数 $s$。
2. 扩展 FTS 框架：它证明了先前在厄米系统和非互易非厄米模型中建立的统一 FTS 标度描述，可以成功推广到具有能隙缺失初始态的非厄米系统（具体为增益-损耗 AA 模型）。

作者总结认为，其工作为理解非厄米性、定域化临界性以及非平衡驱动之间的相互作用提供了全面的视角。他们指出，鉴于非厄米准周期系统在光子和冷原子平台上的实验可及性，这些预测有望激发进一步的实验研究。