Equilibrium and nonequlibrium scaling behaviors of localization transition in a non-Hermitian Aubry-André model with onsite gain and loss

技術要約：オンサイト利得・損失を伴う非エルミート・オーブリー・アンドレ・モデルにおける局在転移の平衡および非平衡スケーリング挙動

問題提起
非エルミート性と局在の相互作用は大きな注目を集めているが、オンサイトの利得（gain）と損失（loss）を特徴とする非エルミート系における駆動ダイナミクスについては、依然としてほとんど解明されていない。既存の非エルミート・オーブリー・アンドレ（AA）モデルの研究は、主に非相反ホッピング機構に焦点を当ててきた。しかし、利得・損失メカニズムは、非相反ホッピングとは根本的に異なるスペクトルおよびトポロジカル特性を示す（例：拡張相／局在相と実スペクトル／複素スペクトルの対応関係が逆転している）。さらに、キブブル・ズurek機構（KZM）や有限時間スケーリング（FTS）は非エルミート系にも適用されてきたが、利得・損失メカニズムにおけるギャップレスな初期状態（拡張相）を持つモデルへの適用可能性については、体系的な検証が必要である。

手法
著者らは、以下のハミルトニアンで記述される、オンサイトの利得と損失を持つ一次元単一粒子非エルミートAAモデルを調査している：
$$H = -J \sum_{j=1}^{L} (c^\dagger_j c_{j+1} + \text{H.c.}) + \sum_{j=1}^{L} V_n(j) c^\dagger_j c_j$$
ここで、オンサイトポテンシャル $V_n(j) = V \cos(2\pi\gamma j + \phi)$ は、位相 $\phi = \theta + ih$ を通じて複素数化されており、利得と損失を導入している。熱力学的極限における周期境界条件（PBC）を満たすため、システムサイズ $L$ はフィボナッチ数を用いて近似されている。

本研究では、主に2つの解析的手法を用いている：

1. 静的臨界挙動： 著者らは、局在長（$\xi$）、逆参加比（IPR）、およびエネルギーギャップ（$E_g$）の3つの観測量に対して有限サイズスケーリング（FSS）解析を行う。様々なシステムサイズにおける数値データを臨界点付近の普遍曲線上に崩壊（collapsing）させることで、臨界指数（$\nu, s, z$）を抽出する。
2. 駆動ダイナミクス： システムは、ポテンシャルの強さ $\varepsilon(t) = \varepsilon_0 + Rt$ を変化させることにより、臨界点を横切るように線形に駆動される。初期状態は、ギャップレスな拡張状態として準備される。著者らは、条件 $z' < r$ が満たされる場合に、ギャップレスな初期状態に対してKZMを一般化したFTSフレームワークの適用可能性を検証する（ここで $z'$ は初期相におけるギャップの閉鎖を特徴付け、$r = z + 1/\nu$ である）。

主な結果

• 臨界指数と普遍性クラス：
  FSS解析を通じて、著者らは利得・損失型AAモデルに関する以下の臨界指数を抽出した：

  • 相関長指数：$\nu = 1.00(2)$
  • IPR指数：$s = 0.7965(2)$
  • 動的指数：$z = 1.999(2)$

  これらの結果は、利得・損失型AAモデルが、エルミート型AAモデルおよび非相反ホッピング型AAモデルの両方とは異なる独自の普遍性クラスに属することを確立している。$\nu$ と $z$ は非相反モデルとほぼ同一であるが、IPR指数 $s$ は大きく異なる（非相反モデルでは $s \approx 0.12$、エルミート型では $s \approx 0.33$）。これは、臨界点における波動関数のマルチフラクタル特性が、特定の非エルミートメカニズムに対して非常に敏感であることを示している。

• スペクトルおよび空間的特性：
  相図は、転移線 $h = \log(2J/V)$ を確認している。非相反モデルとは異なり、利得・損失モデルにおける拡張相は純粋に実なスペクトルと自明なトポロジーを持ち、局在相は複素なスペクトルと非自明なトポロジーを持つ。波動関数の空間解析により、局在相においては、PBCおよび開境界条件（OBC）の両方において対称的な指数関数的減衰が見られることが明らかになった。これは、非相反モデルで見られる非対称なスキン効果による局在とは対照的である。

• 駆動ダイナミクスとFTSの妥当性：
  著者らは、ギャップレスな拡張状態から始まる利得・損失モデルに対して、FTSフレームワークが引き続き適用可能であることを検証した。

  • 拡張相におけるギャップ閉鎖指数は $z' = 1.999(2)$ であることが判明した。
  • 条件 $z' < r$ は、$r = z + 1/\nu \approx 2.999$ であることから満たされている。
  • 時間依存シュレディンガー方程式の数値シミュレーションにより、広範なシステムサイズおよび駆動速度（$R$）にわたって、予測されたFTSスケーリング形式がIPRに対して成立することが確認された。データは、以下の理論的アンザッツと一致する普遍曲線上に崩壊する：
    $$\text{IPR} \sim L^{-s/\nu} g_1(RL^r, \varepsilon R^{-1/r\nu}) \quad (\text{小さい } R \text{ の場合})$$
    $$\text{IPR} \sim L^{-1} R^{(s-\nu)/r\nu} g_2(RL^r, \varepsilon R^{-1/r\nu}) \quad (\text{大きい } R \text{ の場合})$$

意義と主張
本論文は、主に2つの貢献を主張している：

1. 新しい普遍性クラス： 利得・損失型の非エルミートAAモデルを、主に波動関数のマルチフラクタル性を支配する臨界指数 $s$ によって区別される、新しい普遍性クラスとして確立した。
2. FTSフレームワークの拡張： エルミート系および非相反非エルミートモデルに対して既に確立されている統一的なFTSスケーリング記述が、ギャップレスな初期状態を持つ非エルミート系（具体的には利得・損失型AAモデル）に対しても成功裏に一般化できることを示した。

著者らは、本研究が、非エルミート性と局在の臨界性、および非平衡駆動の相互作用に関する包括的な視点を提供するものであると結論付けている。また、フォトニクスや冷却原子プラットフォームにおける非エルミート準周期系の実験的アクセスの容易さを考慮すると、これらの予測はさらなる実験的研究を刺激することが期待されると述べている。