Deformations and homotopy theory of Rota-Baxter Lie algebras

技术摘要：Rota-Baxter 李代数的形变与同伦理论

问题陈述
本文探讨了代数结构形变理论与同伦理论中两个相互关联的问题，特别关注任意权重 $\lambda$ 的 Rota-Baxter 李代数。

1. 控制 $L_\infty$-代数的显式构造： 虽然形变理论的一般哲学认为形变由一个 $L_\infty$-代数控制，但为特定结构显式构造该代数通常是非常困难的。作者旨在构造一个控制任意权重下 Rota-Baxter 李代数（同时对李括号和 Rota-Baxter 算子进行形变）的 $L_\infty$-代数。
2. 结构的同伦版本： 本文试图定义 Rota-Baxter 李代数的“同伦版本”（类似于李代数的 $L_\infty$-代数或结合代数的 $A_\infty$-代数）。这需要为控制这些结构的算子 $\lambda\text{RBL}$ 寻找一个极小模型（minimal model）。

一个显著的挑战在于 $\lambda\text{RBL}$ 算子不是 Koszul 的（甚至不是二次的），这意味着经典的 Koszul 对偶理论无法直接应用于生成极小模型。以往的工作主要集中在固定括号的情况下形变 Rota-Baxter 算子，或者局限于权重为零的情况。本文旨在处理任意权重下括号与算子的同时形变。

方法论
作者结合使用了算子理论、代数 Morse 理论以及同伦代数技术：

• 通过代数 Morse 理论构建极小模型： 由于 $\lambda\text{RBL}$ 不是 Koszul 的，作者构造了一个余增对称同伦余算子（coaugmented symmetric homotopy cooperad），记作 $S(\lambda\text{RBL}^!)$，它作为 Kos-dual 同伦余算子。随后，他们利用代数 Morse 理论证明了 $\lambda\text{RBL}$ 的 cobar 构造 $\Omega(\lambda\text{RBL}^!)$ 确实是 $\lambda\text{RBL}$ 的极小模型。这涉及在 shuffle tree 单项式上定义一种特定的“右路径-置换扩张”（right path-permutation extension）序，从而在由对偶余算子悬置生成的自由算子上构造一个无环的 Morse 匹配。
• 卷积形式（Convolution Formalism）： 一旦建立了极小模型（及其对偶同伦余算子），作者便应用通用的卷积形式。他们通过将对偶余算子与自同构算子（endomorphism operad）进行卷积，在余链空间上定义了一个 $L_\infty$-代数。
• 扭曲过程（Twisting Procedure）： 为了恢复特定 Rota-Baxter 李代数 $(g, \ell, T)$ 的形变复形，作者使用对应于给定结构的 Maurer-Cartan 元对构造出的 $L_\infty$-代数进行扭曲。
• 与结合理论的比较： 文中利用交换子构造将 Rota-Baxter 结合代数与 Rota-Baxter 李代数联系起来，并构造了它们各自极小模型之间的态射。

核心贡献与结果

1. $\lambda\text{RBL}$ 的极小模型（定理 A）：
   作者显式构造了一个余增对称同伦余算子 $S(\lambda\text{RBL}^!)$，并证明其 cobar 构造 $\lambda\text{RBL}_\infty := \Omega(\lambda\text{RBL}^!)$ 是权重为 $\lambda$ 的 Rota-Baxter 李代数算子的极小模型。这是通过在自由算子上展示一个显式的无环 Morse 匹配来实现的，其中临界树单项式对应于 Rota-Baxter 李代数的标准型。

2. 形变复形与 $L_\infty$-结构（定理 B）：

   • 定义了一个在分次空间 $V$ 的余链分次空间上的 $L_\infty$-代数 $C_{\text{RBL}}^\lambda(V)$。证明了该 $L_\infty$-代数的 Maurer-Cartan 元恰好是 $V$ 上的同伦 Rota-Baxter 李代数结构。
   • 通过用对应于特定 Rota-Baxter 李代数 $(g, \ell, T)$ 的 Maurer-Cartan 元扭曲该 $L_\infty$-代数，作者恢复了形变复形 $C^\bullet_{\text{RBL}}(g)$。
   • 该复形被显式描述为从李代数 $g$ 的 Chevalley-Eilenberg 复形到 Rota-Baxter 算子 $T$（带有表示系数）的链映射 $\Phi^\bullet$ 的映射锥（mapping cone）的负移位。
   • 文中还确定了仅控制算子形变（固定括号）的空间携带一个 dg Lie 代数结构。

3. 同伦 Rota-Baxter 李代数的定义（定理 C 背景）：
   基于极小模型，作者给出了同 homotopy Rota-Baxter 李代数（weight $\lambda$）的严谨定义。它们被定义为从极小模型 $\lambda\text{RBL}_\infty$ 到自同构算子的态射。显式地，这种结构由一系列反对称映射 $\ell_n$（定义了一个 $L_\infty$-代数）和满足广义相容性条件（方程 19 和 20）的 $T_n$ 组成，这些条件将 Rota-Baxter 恒等式扩展到了同伦层面。

4. 与结合理论的关系：
   本文构造了一个从 Rota-Baxter 李代数极小模型到 Rota-Baxter 结合代数极小模型 $\lambda\text{RBAS}_\infty$（由先前工作 [40] 构造）的 dg 算子态射 $\Phi$。该态射在生成元上的定义是通过反对称化实现的，这表明通过交换子将结合代变为李代数的经典函子可以形变到同伦层面。

意义与主张
本文声称提供了对任意权重下的 Rota-Baxter 李代数的首次全面的算子层面的处理，解决了括号与算子的同时形变问题。

• 它通过成功应用代数 Morse 理论来构造极小模型，解决了非 Koszul 算子的困难。
• 它将这些结构的形变理论、上同调理论和同伦理论统一在一个源自极小模型的单一框架之下。
• 其结果推广了以往关于相对 Rota-Baxter 李代数（特别是权重为零的情况）的工作，并将理论扩展到任意权重，证明了在余链复形层面，其上同调理论与现有构造相一致，同时提供了此前缺失的底层 $L_\infty$-结构。
• 该工作在同伦层面建立了 Rota-Baxter 结合代数与 Rota-Baxter 李代数之间精确的同伦联系，确认了通过交换子从结合结构向李结构的过渡与同伦理论是相容的。