Deformations and homotopy theory of Rota-Baxter Lie algebras

技術要約：Rota-Baxter Lie代数の変形およびホモトピー論

問題設定
本論文は、任意のウェイト $\lambda$ を持つRota-Baxter Lie代数に焦点を当てた、代数構造の変形理論およびホモトピー論における、相互に関連する2つの問題に取り組んでいる。

1. 制御する$L_\infty$-代数の明示的な構成： 変形理論の一般的な哲学は、変形は$L_\infty$-代数によって制御されると説いているが、特定の構造に対してこの代数を明示的に構成することはしばしば困難である。著者らは、Rota-Baxter Lie代数のリー括弧（Lie bracket）とRota-Baxter作用素（Rota-Baxter operator）の両方の同時変形を制御する$L_\infty$-代数を、任意のウェイト $\lambda$ に対して構成することを目的としている。
2. 構造のホモトピー版： 本論文は、Rota-Baxter Lie代数の「ホモトピー版」（Lie代数に対する$L_\infty$-代数や、結合的代数に対する$A_\infty$-代数に相当するもの）を定義しようとしている。これには、これらの構造を支配するオペラド $\lambda\text{RBL}$ の最小モデルを見出すことが必要である。

重大な課題は、オペラド $\lambda\text{RBL}$ がKoszulではなく（さらに二次的ですらないため）、古典的なKoszul双対理論を直接適用して最小モデルを生成することができない点にある。先行研究の多くは、固定された括弧の下でのRota-Baxter作用素の変形、あるいはウェイトゼロの場合に限定されていた。本論文は、括弧と作用素の同時変形を任意のウェイトに対して扱うことを目的としている。

手法
著者らは、オペラド理論、代数的モース理論、およびホモトピー代数の手法を組み合わせて用いている：

• 代数的モース理論による最小モデル： $\lambda\text{RBL}$ はKoszulではないため、著者らは余増強（coaugmented）対称ホモトピー余オペラド $S(\lambda\text{RBL}^!)$ を構築し、これがKoszul双対ホモトピー余オペラドとして機能することを示す。そして、代数的モース理論を用いて、$\lambda\text{RBL}^!$ のコバー構成（cobar construction） $\Omega(\lambda\text{RBL}^!)$ が実際に $\lambda\text{RBL}$ の最小モデルであることを証明する。これには、双対余オペラドの懸垂（desuspension）から生成される自由オペラド上に、特定の「右パス置換拡張（right path-permutation extension）」の順序を定義し、アサイクリックなモース・マッチング（acyclic Morse matching）を構成するプロセスが含まれる。
• 畳み込み形式（Convolution Formalism）： 最小モデル（およびその双対ホモトピー余オペラド）が確立された後、著者らは一般的な畳み込み形式を適用する。彼らは、双対余オペラドと自己準同型オペラドとの畳み込みを通じて、余鎖（cochains）の空間上に$L_\infty$-代数を定義する。
• ねじれ（Twisting）の手続き： 特定のRota-Baxter Lie代数 $(g, \ell, T)$ の変形複体を回収するために、与えられた構造に対応するMaurer-Cartan元を用いて、構築された$L_\infty$-代ルにねじれの手続きを適用する。
• 結合的理論との比較： 著者らは交換子構成（commutator construction）を利用して、Rota-Baxter結合的代数とRota-Baxter Lie代数を関連付け、それぞれの最小モデル間の射を構成する。

主要な貢献および結果

1. $\lambda\text{RBL}$ の最小モデル（定理A）：
   著者らは、余増強対称ホモトピー余オペラド $S(\lambda\text{RBL}^!)$ を明示的に構築し、そのコバー構成 $\lambda\text{RBL}_\infty := \Omega(\lambda\text{RBL}^!)$ が、任意のウェイト $\lambda$ のRota-Baxter Lie代数のオペラドの最小モデルであることを証明する。これは、自由オペラド上の明示的なアサイクリック・モース・マッチングを示すことによって達成され、そこでのクリティカルなツリー単項式は、Rota-Baxter Lie代数の標準形に対応している。

2. 変形複体および$L_\infty$-構造（定理B）：

   • 勾配付き空間 $V$ の余鎖の勾配付き空間上に、$L_\infty$-代数 $C_{\text{RBL}}^\lambda(V)$ が定義される。この$L_\infty$-代数のMaurer-Cartan元は、まさに $V$ 上のホモトピーRota-Baxter Lie代数構造であることが示される。
   • この$L_\infty$-代ルを、特定のRota-Baxter Lie代数 $(g, \ell, T)$ に対応するMaurer-Cartan元でねじることにより、著者らは変形複体 $C^\bullet_{\text{RBL}}(g)$ を回収する。
   • この複体は、Lie代数 $g$ のChevalley-Eilenberg複体から、Rota-Baxter作用素 $T$ の（ある表現に関する）余鎖複体への鎖写像 $\Phi^\bullet$ のマッピングコーンの負のシフトとして、明示的に記述される。
   • また、本論文は、作用素のみの変形（固定された括弧の下での変形）を制御する空間が、dg Lie代数構造を持つことも確立している。

3. ホモトピーRota-Baxter Lie代数の定義（定理Cの文脈）：
   最小モデルに基づき、著者らはホモトピーRota-Baxter Lie代数のウェイト $\lambda$ の厳密な定義を提供する。これらは、$\lambda\text{RBL}_\infty$ から自己準同型オペラドへの射として定義される。明示的には、この構造は、Rota-Baxter恒等式をホモトピーレベルへと拡張する一般化された適合条件（式19および20）を満たす、一連の反対称写像 $\ell_n$ （$L_\infty$-代数を定義する）および $T_n$ から構成される。

4. 結合的理論との関係：
   本論文は、Rota-Baxter Lie代数の最小モデルからRota-Baxter結合的代数の最小モデル $\lambda\text{RBAS}_\infty$（先行研究[40]で構築されたもの）への、dgオペラドの明示的な射 $\Phi: \lambda\text{RBL}_\infty \to \lambda\text{RBAS}_\infty$ を構成する。この射は生成元において反対称化によって与えられ、結合的代数からLie代数への交換子による写像が、ホモトピーレベルにおいても変形可能であることを示している。

意義および主張
本論文は、任意のウェイトを持つRota-Baxter Lie代数の、包括的なオペラドレベルの扱いを初めて提供したと主張している。これは、括弧と作用素の同時変形に対処するものである。

• 代数的モース理論を適用して最小モデルを構築することにより、非Koszulオペラドの困難を解決している。
• これらの構造の変形理論、コホモロジー理論、およびホモトピー理論を、最小モデルから導かれる単一の枠組みの下に統合している。
• 本研究の結果は、相対的Rota-Baxter Lie代数（特にウェイトゼロのもの）に関する先行研究を一般化し、これらの構造のウェイトを任意へと拡張し、コチェイン複体のレベルにおいて既存の構成とコホモロジー理論が一致することを示しつつ、以前は欠落していた基礎となる$L_\infty$-構造を提供している。
• 本研究は、Rota-Baxter結合的代数とRota-Baxter Lie代数の間の精密なホモトピー論的関連性を確立し、交換子を介した結合的構造からLie構造への移行がホモトピー理論と両立していることを確認している。