$p$-adic Equidistribution of Special Loci in a Product of Modular Curves

技术摘要：乘积模曲线中特殊局部集的 $p$-进等分布性

问题陈述
本文研究了定义在 $\mathbb{C}_p$ 上的光滑不可约曲线 $C \subset X(1) \times X(1)$ 与模子簇 $Y_0(n)$ 之间的交点渐近分布问题。空间 $X(1) \times X(1)$ 是两个 $j$-线的乘积，作为一对椭曲线的模空间。研究重点在于概率测度 $\bar{\delta}_n(C)$ 的行为，该测度由 $C \cap Y_0(n)$ 中的交点（计入重数）所支撑，并考察当 $n \to \infty$ 时其表现。

核心问题是这些测度是否弱收敛于 Berkovich 分析化 $C^{Berk}$ 中的唯一规范点 $x_{can}$，这一现象被称为等分布。论文区分了证明等分布性的两种情形：

1. 平凡情形（Ordinary Case）： 即曲线 $C$ 避开了两个坐标均具有超奇异还原（supersingular reduction）的点。
2. 超奇异情形（Supersingular Case）： 即下标序列 $n$（或子序列 $a_n$）表现出增加的 $p$ 整除性（即 $v_p(a_n) \to \infty$）。

本文还讨论了交集并集 $L = C \cap \bigcup_n Y_0(n)$ 的累积点集的结构，特别是确定该集合何时是非离散的。文中指出，如果上述两个条件均不满足（即 $C$ 经过一个两个坐标均为超奇异的点，且序列具有有界的 $p$ 整除性），则预计等分布性会失效，作者并提供了一类展示此类行为的示例。

方法论
证明策略依赖于将 Berkovy 空间上测度的弱收敛问题转化为对特定 $p$-进球内交点数量的估计问题。这种简化通过引理 1.4 实现，该引理指出：当且仅当落在任何半径 $r < 1$ 的球内（或特定的无穷远处的球）的交点比例相对于交点的总次数趋于零时，发生向 $x_{can}$ 的等分布。

方法论根据涉及的椭曲线的还原类型分为两类：

1. 平凡局部（使用 Serre-Tate 坐标）：

   • 分析利用 Serre-Tate 坐标来线性化模曲线 $Y_0(n)$ 的局部几何结构。在这些坐标下，$Y_0(n)$ 被描述为由 $p$ 次幂单位根平移的正则环面（formal tori）的并集。
   • $C$ 与这些环面平移的交集被简化为寻找 $p$-进幂级数的零点。
   • Strassman 定理是用于界定这些幂级数零点个数的主要工具，它为这些幂级数在固定球内的零点数量提供了统一界限。
   • 为了刻画累积点，论文采用了“模环面”（由同源产生的环面）在所有可能环面空间中的密度（引理 4.3），从而允许构造收敛于特定极限的交点序列。

2. 超奇异局部（使用周期映射与 Hecke 轨道）：

   • 对于超奇异还原，论文利用了定义在变形盘（deformation discs）上的周期映射（period map）。该映射塌缩了 $p$ 次幂 Hecke 轨道。
   • 通过分析 Hecke 轨道的性质（特别是关于 $Y_0(n_0 p^m)$ 周期图像独立性的定理 6.1），作者证明了对于足够大的 $m$，模曲线 $Y_0(n_0 p^m)$ 最终会避开超奇异局部中任何固定的半径 $R < 1$ 的球。
   • 这导出了一个比单纯等分布更强的结论：对于足够大的 $p$ 整除性，交集最终为空。

3. 无穷远（使用 Tate 坐标）：

   • 对边界（无穷远）附近的行为通过来自 $p$-进均匀化的 Tate 坐标进行分析。
   • 模曲线 $Y_0(n)$ 被证明是形式为 $q_2^a = q_1^b$ 的分支的并集。
   • 与平凡情形类似，利用应用在 Tate 坐标下的 Strassman 定理来界定与固定曲线 $C$ 的交点数量，表明该计数增长速度慢于总次数。

主要贡献与结果

• 定理 1.1（等分布）：

  • 情形 (i)： 如果 $C$ 避开了两个坐标均具有超奇异还原的点，且 $a_n$ 是一个满足 $v_p(a_n) \to \infty$ 的序列，则 $\bar{\delta}_{a_n}(C) \to \delta_{x_{can}}$。
  • 情形 (ii)： 如果 $C$ 避开了两个坐标均为超奇异的点，则对于全序列 $n$，有 $\bar{\delta}_n(C) \to \delta_{x_{can}}$。
  • 论文明确指出，如果这两个条件都不满足（即 $C$ 经过一个两个坐标均为超奇异的点且序列具有有界的 $p$ 整除性），则预计等分布性会失效，作者通过示例展示了这种行为。

• 定理 1.2（累积点特征）：
  论文对假设 $P$ 对应于具有良平凡还原（good ordinary reduction）椭曲线的点 $P \in C$ 是哪些点为累积点提供了精确刻画：

  • 非 CM 点： $P$ 是累积点当且仅当 $P$ 位于一个环面（在 Serre-Tate 坐标下）上。
  • 恰好一个 CM 点： $P$ 绝不是累积点。
  • 两个皆为 CM 点： $P$ 是累积点当且仅当 $C$ 在 $P$ 处与经过 $P$ 的一个环面相切。
  • 推论 4.10： 对于任何曲线 $C$，特殊局部集的交点集永远是非离散的；至少存在一个累积点。

• 与前人工作的关系：
  结果与 Maulik 和 Poonen [10] 关于跳跃集（jumping loci）的工作相关联。论文表明，坐标为 CM 或同源的点在 $C$ 中是 $p$-进处处不稠密的（命题 5.2），利用此处开发的等分布技术恢复了其结果的一个特定情形。

意义与主张

本文对乘积模曲线在 $\mathbb{C}_p$ 上的特殊局部集的等分布进行了全面分析，扩展了 Herrero、Menares 和 Rivera-Letelier 先前的 1 维结果。

• 与复几何的对比： 论文强调了 $p$-进设置与复数设置之间的根本差异。虽然在复数域 $\mathbb{C}$ 上，所有判别式趋于 $-\infty$ 的 CM 点序列都满足等分布，但 $p$-进设置表现出一种二分性：等分布仅在关于超奇异还原和 $p$ 整除性的特定条件下成立。在这些条件不满足的情况下，作者预期等分布失效，并用示例证明了这一点。
• 非离散性： 一个重要的发现是，任何曲线 $C$ 上的特殊点集永远是非离散的。这是通过证明任何曲线上都存在累积点来建立的，该结果源于模环面的密度和 Serre-Tate 坐标的性质。
• 方法论贡献： 本工作展示了结合 Berkovy 几何（用于定义极限测度）、Serre-Tate 坐标（用于在平凡情形下线性化问题）以及周期映射（用于控制超奇异情形）来研究算术交集问题的有效性。

本文并未声称解决了经过超奇异点且具有有界 $p$ 整除性的曲线的等分布问题；而是将其识别为一个等分布失效的机制，并提供了此类行为的示例。研究结果是在所述假设下对等分布现象的完整刻画。