$p$-adic Equidistribution of Special Loci in a Product of Modular Curves

技術要約：積モジュラー曲線における特殊な軌跡の $p$ 進等分布性

問題設定
本論文は、$\mathbb{C}_p$ 上で定義された滑らかで既約な曲線 $C \subset X(1) \times X(1)$ と、モジュラー部分多様体 $Y_0(n)$ との交点点の漸近的分布を調査するものである。空間 $X(1) \times X(1)$ は、2つの $j$ 直線の積であり、2つの楕円曲線のペアのモジュリ空間として機能する。本研究は、交点集合 $C \cap Y_0(n)$（重複度を含めてカウント）に支持される確率測度 $\bar{\delta}_n(C)$ の挙動、特に $n \to \infty$ における振る舞いに焦点を当てている。

中心となる問いは、これらの測度がベルコヴィッチ解析空間 $C^{Berk}$ における唯一の標準的な点 $x_{can}$ に弱収束するかどうかであり、これは等分布性として知られる現象である。本論文では、等分布性が証明されている2つの領域を区別している：

1. 通常のケース（Ordinary Case）： 両方の座標が超特異減少（supersingular reduction）を持つ点を除去する曲線 $C$。
2. 超特異のケース（Supersingular Case）： 指数の列 $n$（または部分列 $a_n$）が $p$ によるべき乗の可除性を増大させる場合（$v_p(a_n) \to \infty$）。

また、本論文は、交点の和集合の蓄積点の集合 $L = C \cap \bigcup_n Y_0(n)$ の構造についても検討しており、特にこの集合が非離散となる条件を特定している。もし上記のいずれの条件も満たされない場合（すなわち、$C$ が両方の座標が超特異となる点を通り、かつ数列の $p$ 可除性が有界である場合）、等分布性は失敗することが予想されることを指摘しており、著者による例証的な一族の例を提供している。

手法
証明戦略は、ベルコヴィッチ空間における測度の弱収束の問題を、特定の $p$ 進ボール内における交点数の評価問題へと翻訳することに基づいている。この還元は、等分布性が $x_{can}$ への収束と同値である（全交点数に対する、半径 $r < 1$ の任意のボール、または無限遠付近の特定のボールに入る交点数の割合がゼロに収束することと同値である）という補題 1.4 によって定式化される。

手法は、関与する楕円曲線の簡約型に基づいて二分される：

1. 通常の領域（セリエ・テイト座標）：

   • 解析には、モジュラー曲線 $Y_0(n)$ の局所幾何学を線形化するためにセリエ・テイト座標を利用する。これらの座標において、$Y_0(n)$ の軌跡は、形式トーラスの $p$ 乗根による平行移動の和集合として記述される。
   • これらのトーラスの平行移動と $C$ との交差は、$p$ 進冪級数の零点を見つける問題へと還元される。
   • **ストラスマンの定理（Strassman's Theorem）**が、これらの冪級数の零点の数を抑えるための主要な道具として用いられ、固定されたボール内での交点数に対して一様な境界を与える。
   • 蓄積点を特徴付けるために、本論文は「モジュラー・トーラス」（イソジェニーから生じるトーラス）の空間における全ての可能なトーラスの空間への稠密性（補題 4.3）を利用し、特定の極限に収束する交点列を構成する。

2. 超特異領域（周期写像とヘッケ軌道）：

   • 超特異減少については、変形ディスク上で定義された**周期写像（period map）**を利用する。この写像は $p$ べきのヘッケ軌道を潰す性質を持つ。
   • ヘッケ軌道の性質（特に $Y_0(n_0 p^m)$ に関する定理 6.1 の、周期像の独立性について）を分析することにより、著者は、十分大きな $m$ に対して、$Y_0(n_0 p^m)$ が超特異領域内の半径 $R < 1$ の任意の固定されたボールを最終的に回避することを示す。
   • これにより、単なる等分布性よりも強い結果、すなわち $p$ 可除性が十分に大きい場合には交わりが空集合になることが示される。

3. 無限遠（テイト座標）：

   • 境界（無限遠）付近の挙動は、$p$ 進一様化から導かれるテイト座標を用いて分析される。
   • モジュラー曲線 $Y_0(n)$ は、$q_2^a = q_1^b$ という形の枝の和集合であることが示される。
   • 通常のケースと同様に、テイト座標における冪級数にストラスマンの定理を適用することで、固定された曲線 $C$ との交差数は全次数よりも遅く成長することが示され、交差数が抑えられる。

主な貢献と結果

• 定理 1.1（等分布性）：

  • ケース (i)： $C$ が両方の座標で超特異減少を持つ点を除去し、$a_n$ が $v_p(a_n) \to \infty$ となる数列である場合、$\bar{\delta}_{a_n}(C) \to \delta_{x_{can}}$ である。
  • ケース (ii)： $C$ が両方の座標が超特異となる点を除去する場合、全数列 $n$ に対して $\bar{\delta}_n(C) \to \delta_{x_{can}}$ である。
  • 本論文は、どちらの条件も満たされない場合（すなわち、$C$ が両方の座標が超特異となる点を通り、かつ数列の $p$ 可除性が有界である場合）、等分布性は失敗することが予想されると明言している。著者は、特定のボール上で極限測度が非ゼロとなる例を示し、判別式が $-\infty$ に向かう場合に等分布性が成立する複素数の場合とは対照的な挙動を示している。

• 定理 1.2（蓄積点の特徴付け）：
  本論文は、点 $P \in C$ が、軌跡 $L = C \cap \bigcup_n Y_0(n)$ の蓄積点となるための正確な特徴付けを提供している。ただし、$P$ が良減少（good reduction）かつ通常の性質を持つ楕円曲線に対応する場合とする：

  • CMなし： $P$ が蓄積点となるのは、$P$ が（セリエ・テイト座標において）トーラス上にある場合、かつその時に限る。
  • ちょうど一つのCM： $P$ は決して蓄積点にはならない。
  • 両方のCM： $P$ が蓄積点となるのは、$C$ が $P$ を通るトーラスに対して $P$ で接する場合、かつその時に限る。
  • 系 4.10： 任意の曲線 $C$ について、特殊な軌跡との交点集合は決して離散的ではない。すなわち、常に少なくとも一つの蓄積点が存在する。

• 先行研究との関係：
  結果は、ジャンピング・ロカスに関する Maulik および Poonen [10] の研究と関連している。本論文は、特殊な点（CM またはイソジェニーの関係にある点）の集合が $C$ において $p$ 進的に至る所あらでは稠密でないこと（命題 5.2）を示し、ここで開発された等分布性の手法を用いて、彼らの結果の特定のケースを回収している。

意義と主張

本論文は、$\mathbb{C}_p$ 上のモジュラー曲線の積における特殊な軌跡の等分布性に関する包括的な分析を提供し、Herrero, Menares, および Rivera-Letelier による従来の1次元の結果を拡張するものである。

• 複素幾何学との対比： 本論文は、$p$ 進の設定と複素数の設定との間の根本的な違いを強調している。判別式が $-\infty$ に向かうすべてのCM点の列は $\mathbb{C}$ 上で等分布するが、$p$ 進の設定では、超特異減少と $p$ 可読性に関する特定の条件の下でのみ等分布性が成立するという二分法が存在する。これらの条件が満たされない場合、著者は失敗を予想し、それを示す例を提示している。
• 非離散性： 重要な発見は、いかなる曲線 $C$ においても、特殊な点の集合は決して離散的ではないということである。これは、モジュラー・トーラスの稠密性とセリエ・テイト座標の性質から導かれる、蓄積点が常に存在するという事実によって確立されている。
• 方法論的貢献： 本研究は、等分布現象を研究するために、ベルコヴィッチ幾何学（極限測度を定義するため）、セリエ・テイト座標（通常のケースにおける問題を線形化するため）、および周期写像（超特異の場合を制御するため）を組み合わせることの有効性を実証している。

本論文は、超特異点を通る $p$ 可読性が有界な数列に関する等分布性の問題を解決すると主張しているのではなく、むしろこれを等分布性が失敗する領域として特定し、そのような挙動を示す例を提供している。結果は、示された仮定の下での等分布現象の完全な特徴付けとして提示されている。