NNLL fit of the transverse-momentum-dependent distribution of unpolarised gluons to LHCb data on $J/\psi$-pair production

技术摘要：对 LHCb $J/\psi$ 对数据进行非极化胶子 TMD 的 NNLL 拟合

问题与背景
横向动量依赖（TMD）因子化提供了一个框架，用于分离涉及小横向动量 $q_T$（相对于硬标度 $Q$）过程中的摄动与非摄动动力学。虽然夸克 TMD 已通过 Drell-Yan 和半包络深度非弹性散射（SIDIS）数据得到了良好的约束，但由于胶子在这些过程中在领先扭度（leading twist）下不贡献，其胶子 TMD 仍不为人所熟知。夸克偶素对产生，特别是 LHCb 实验中的 $J/\psi$ 对产生，是一个由胶子融合主导的极具前景的通道。然而，以往尝试使用次领先对数（NLL）精度和常规非摄动建模从这些数据中提取非极化胶子 TMD ($f_1^g$) 的尝试结果并不理想。具体而言，理论上的横向动量分布表现出的峰值比观测到的更高，这表明摄动演化“过快”，或者摄动与非摄动组分之间的相互作用处理不当。

方法论
本研究展示了首次对 LHCb 在 $\sqrt{s}=13$ TeV 下的包容性 $J/\psi$ 对产生双微分数据进行的非极化胶子 TMD $f_1^g$ 拟合，该拟合是在次次领先对数（NNLL）精度下完成的。分析重点在于对成对不变质量 $Q$（6.6, 7.9, 和 11 GeV）和横向动量 $q_T$（限制为 $q_T < Q/2$）的自归一化微分截面进行研究。

作者识别了常规 TMD 拟合方法的关键局限性，特别是用于分离摄动与非摄动区域的 $b_T$ 空间处方。研究发现，标准的 $b^*_T$ 处方结合非摄动 Sudakov 因子 $S_{NP}$ 会人为地扭曲摄动区域（$b_T < b_{T,max}$）内的摄动计算，导致 $q_T$ 谱出现非物理的振荡。

为了解决这一问题，本文提出并实施了两种纳入理论约束的新型拟合策略：

1. $b_T$ 空间约束： 该方法保留了传统的平滑 $b^*_T$ 处方（$n=2$），但修改了 $\chi^2$ 极小化过程。通过添加一个惩罚项，来惩罚导致理论预测在 $b_T$ 空间内偏离摄动不确定度带（通过 9 点标度变化估算）的非摄动参数（$A$ 和 $B$）。这确保了非摄动贡献不会任意改变摄动输入。
2. $q_T$ 空间约束： 该方法采用更尖锐的 $b^*_T$ 处方（$n=10$），以最小化非摄动参数对摄动区域的影响。为了抵消使用这种更尖锐处方时在 $q_T$ 空间中产生的非物理振荡，文中对 $q_T$ 分布的曲率施加了惩罚，特别是抑制低 $q_T$ 处的负曲率（振荡）。

两种方法都考虑了来自摄动标度变化和部分子分布函数（PDF）集（使用 Hessian 复本）的不确定性。拟合参数为 Sudakov 因子 $S_{NP} \propto (A \ln(Q/Q_{NP}) + B)b_T^2$ 中的非摄动系数 $A$ 和 $B$。

主要结果

• 常规拟合失败： 一个没有理论约束的标准拟合得出了较低的 $\chi^2/\text{dof} = 0.30$ 以及 $A = 0.23 \pm 0.07 \text{ GeV}^2$。然而，这一结果对应的非摄动修改在摄动区域超过了 100%，并产生了非物理的 $q_T$ 分布，表现为在极低 $q_T$ 处有显著峰值以及振荡尾部。
• 受约束拟合： 两种新型策略都成功消除了非物理振荡，并得出了兼容的结果，尽管两者的不确定度不同：
  • $b_T$ 约束拟合： $\chi^2/\text{dof} = 1.18$, $A = 0.37 \pm 0.20 \text{ GeV}^2$, $B = 1.04 \pm 0.68 \text{ GeV}^2$。
  • $q_T$ 约束拟合： $\chi^2/\text{dof} = 1.03$, $A = 0.17 \pm 0.06 \text{ GeV}^2$, $B = 1.03 \pm 0.23 \text{ GeV}^2$。
• TMD 演化： 提取的胶子 TMD 表现出预期的演化特性：随着硬标度 $Q$ 增加，分布在横向动量方向上展宽，且峰值被抑制。
• Collins-Soper 核： 通过应用卡西米尔标度（Casimir scaling, $C_F/C_A$），作者提取了夸克的非摄动部分 Collins-Soper 核。结果与最近的提取结果（MAPNN, ART）相容，但与较旧的拟合（文献 [91]）不同，这突显了核对 $b_{T,max}$ 选择和拟合方法的敏感性。
• PDF 敏感性： 研究表明，只有在拟合中明确包含 PDF 不确定性时，不同 NLO PDF 集（MSHT20, CT18, NNPDF40）的结果才是相互一致的。不建议仅使用中心特征集。
• 摄动精度： NLL 与 NNLL 拟合之间的比较表明，虽然非摄动参数的中心值是稳定的，但 NNLL 精度提供了显著更好的数据描述以及对参数空间更紧凑的约束。

意义与主张
论文声称提供了在 NNLL 精度下，利用 $J/\psi$ 对产生数据进行非极化胶子 TMD $f_1^g$ 以及非摄动 Collins-Soper 核的首次提取。作者认为，考虑摄动和 PDF 不确定性对于对低标度胶子敏感数据的有效拟合至关重要。

这项工作强调，传统的非摄动效应建模（特别是 $b^*_T$ 处方）可能会在胶子起始的过程中引入不受控制的扭曲。提出的拟合策略——即强制要求与摄动不确定度或物理 $q_T$ 行为保持一致——被视为获得可靠提取的必要改进。作者指出，由于运动学抑制以及相关硬系数的微小，线性极化胶子 TMD ($h_1^{\perp g}$) 的贡献在本分析中可以忽略不计。

论文得出结论，虽然目前的数据允许提取非摄动参数的 $Q$ 依赖性，但由于缺乏对快度依赖性的敏感性，无法对非摄动因子的 $x$ 依赖性进行约束。未来的测量需要在不同能量和更高精度下进行，以进一步解耦这些依赖关系。