Bell nonlocality does not imply violation of nonlocal games

技术摘要：“贝尔非定域性并不意味着违反非定域博弈”

问题陈述
贝尔非定域性传统上通过违反贝尔不等式来表征，这些不等式定义了局部行为（$L$）集合的边界。非定域博弈最初由确定性谓词（$V(a,b|x,y) \in \{0,1\}$）定义，为测试这些不等式提供了一个操作框架。虽然已知非定域博弈可以表示许多贝尔不等式（例如 CHSH、GHZ、CGLMP），但一个基本问题仍未得到解答：非定域博弈是否是完整的非定域性见证？具体而言，是否每一个非定域行为都会至少违反一个确定性的非定域博弈？

先前的研究已经证实，在最简单的场景 $(2,2,2,2)$ 中，满足所有非定域博弈的集合（$G$）与局部集合（$L$）相重合。然而，在具有更高输入或输出数量的更复杂场景中，这种等价性是否仍然成立尚不明确。

方法论
作者采用几何和计算方法来分析局部多胞形 $L$ 与“博弈经典”集合 $G$（定义为不违反任何确定性非定域博弈的无信号行为集合）之间的关系。

1. 多胞形特征化： 作者证明了 $G$ 是一个多胞形，且其刻面（facets）具有非定域博弈表示。这确立了 $G$ 是包含 $L$ 的最小多胞形，且其所有刻面对博弈是等价的。
2. 博弈等价定义： 他们为贝尔泛函定义了“博弈等价”。如果一个贝尔泛函可以通过正向缩放、输出无关的块平移以及在无信号仿射空间上添加泛函常数（无信号变换）转化为一个非定域博弈，则称该不等式是博弈等价的。
3. 混合整数线性规划 (MILP)： 为了系统地搜索博弈表示，作者将判定一个贝尔不等式是否为博弈等价的问题建模为一个 MILP。这使得数值识别博弈表示成为可能，并能隔离出那些极有可能是博弈不等价的候选对象。
4. 解析验证： 对于数值识别出的疑似博弈不等价的候选对象，作者提供了解析证明。他们专门分析了 $(4,4,2,2)$ 和 $(2,2,4,4)$ 场景下局部多胞形的刻面。
5. 通过提升（Lifting）进行的证明： 作者利用“提升”技术（增加输入或输出）来证明：在特定场景中存在博弈不等价刻面的事实，意味着在更广泛的场景类别中也存在此类现象。

关键结果

• 严格包含关系 ($L \subsetneq G$)： 本文证明了对于一般的二分贝尔场景 $(X, Y, A, B)$，其中 $X, Y \ge 2$ 且 $A, B \ge 4$，局部行为集合是博弈经典集合的严格子集（$L \subsetneq G$）。
• 博弈经典非定域行为的存在： 存在一些行为是非定域的（在 $L$ 之外），但并不违反任何确定性非定域博弈（在 $G$ 之内）。
• 量子可实现性： 至关重要的是，作者展示了量子力学可以产生这些行为。他们证明了 $Q \cap (G \setminus L) \neq \emptyset$，即存在某些量子行为虽然具有贝尔非定域性，却满足所有确定性非定域博弈。
• 具体反例：
  • 在 $(4,4,2,2)$ 场景中，在 174 个非平凡刻面类中，恰好有一个不等式（$J^\star$）是博弈不等价的。
  • 在 $(2,2,4,4)$ 场景中，在 33 个已知的刻面类中，有两个不等式（$F^\star_1$ 和 $F^\star_2$）是博弈不等价的。
  • 作者展示了这些特定不等式允许量子违反，从而在 $G$ 内部产生了所需的量子非定域行为。
• 隶属问题： 作者将 $G$ 的隶属问题表述为一个 MILP，类似于 $L$ 的线性规划（LP）隶属问题，这为测试一个行为是否为博弈经典提供了一种可行（尽管计算量巨大）的方法。

意义与主张
本文确立了标准的非定域博弈（使用确定性谓词）并非贝尔非定域性的完整见证。虽然非定域博弈在概念上清晰且在操作上具有重要意义，但它们无法检测到某些尽管具有非定域性但仍可由量子力学实现的关联。

作者声称，这一结果要求我们在处理复杂场景时，需要对非定域性的理解进行精细化处理。他们强调，虽然 $G$ 是一个由博弈等价刻面完全表征的多胞形，但在具有足够输出基数的情况下，它严格大于 $L$。这项工作首次提供了经证明是博弈不等价的刻面不等式的显式示例，并表明非定域博弈中的“量子-经典间隙”并未捕捉到量子非定域性的全部。

作者对于这些“博弈经典”非定域行为的操作意义保持了审慎的态度，指出虽然它们是非定域的，但其在除标准贝尔测试之外的任务（例如作为局部操作与共享随机性下的资源）中的效用仍是一个开放性问题。作者还指出，虽然输入提升有时可以为二进制输出场景恢复博弈表示，但这并不适用于此处识别出的多输出情况。