Same Spectrum, Harder First-Order Training: Phase-Locking in Single- versus Multi-Qubit Re-Uploading Circuits
尽管单比特重上传电路可以表示与具有等效编码预算的多比特电路相同的傅里叶级数，但它们遭受一种“相位锁定”现象的影响，该现象严重限制了其切空间维度，导致其一阶训练难度显著高于更宽的多比特控制，并导致收敛速率降低。
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在量子计算这一新兴领域，研究人员正在学习如何利用支配亚原子世界的奇异物理定律，来解决当今超级计算机也无法处理的复杂问题。这一努力的核心工具是变分量子电路（variational quantum circuit），这是一种旨在像神经网络一样从数据中学习模式的算法，但它使用的是量子比特（qubits）而非经典比特。这些电路通过将信息编码进应用于量子比特的旋转角度，有效地将机器转变为一个能够逼近复杂曲线的高级数学引擎。对于简单的、一维的数据，科学家们早已知晓，他们可以在使用的量子比特数量与执行的步骤数之间进行权衡。换句话说，一台运行时间很长的单量子比特机器，在理论上可以产生与一台运行时间短但拥有多个量子比特的机器完全相同的结果。这种灵活性表明，只要规模较小的设备足够“深”（即步骤足够多），构建更小、更简单的量子设备可能与构建更大、更复杂的设备同样强大。
然而，慕尼黑大学和 Aqarios GmbH 的研究人员开展的一项新研究表明，当涉及到这些机器的实际训练过程时，这种理论上的等效性便会失效。虽然单量子比特电路可以表示与双量子比特电路相同的数学函数，但要教导单量子比特版本找到正确解却要困难得多。研究人员发现，单量子比特机器存在一种被称为“相位锁定”（phase-locking）的结构性限制。由于单个量子比特的状态被局限在一个球面上，对其参数进行的每一次调整都会使系统沿着单一的、共享的方向移动。这种约束意味着机器没有额外的腾挪空间；它被迫走在一条钢丝上，每一步都必须完美对齐才能改变输出。相比之下，双量子比特机器拥有更大的状态空间，允许其参数能够同时在多个独立方向上移动。这种额外的自由度提供了一个安全网，使得训练算法能够更容易地在复杂的误差景观中导航，并找到最优解。
为了测试这一点，研究团队设计了一个受控实验，对比了三种不同的电路设计。他们使用了一个带有单个量子比特和长操作链的“串行”电路，并将其与具有相同信息编码能力的双量子比特电路进行了对比。他们利用各种数学目标对这些机器进行了训练，范围涵盖了平滑且可预测的曲线，到复杂的现实世界数据集，如月度气温记录和每日股票价格。结果非常悬殊。在使用依赖于计算梯度的标准训练方法时，单量子比特电路在绝大多数尝试中都无法达到最佳解，尤其是在问题复杂度增加的情况下。在一项具有高编码预算的测试中，单量子比特电路在一百次尝试中仅成功了三次，而双量子比特对照组则成功了九十九次。即使研究人员匹配了可调节参数的数量以确保公平比较，单量子比特机器的表现也始终落后，其产生的预测结果往往明显逊色于其双量子比特对手。
研究人员探讨了这种困难究竟是仅仅因为训练算法陷入了糟糕的起始位置，还是因为在处理条件不佳的数学景观时遇到了麻烦。他们发现，虽然单量子比特电路在训练过程中确实经常遇到困难的数学条件，但问题比单纯的运气不好或起始点差要深刻得多。当他们切换到一种对这些数学障碍不那么敏感的更强大的二阶（second-order）训练方法时，两种设计之间的差距缩小了，但并未消失。单量子比特机器在许多双量子比特机器能够成功的案例中仍然无法收敛。这表明，该限制不仅仅是一个可以通过更好算法来克服的临时障碍，而是一个根本性的结构性劣势。单量子比特机器仅仅缺乏有效探索解空间所需的额外自由度，导致它在偏离航向时没有任何多余的方向来纠正自己的路径。
这一发现对量子机器学习的未来具有重要意义。它表明，虽然构建更小的单量子比特设备似乎是规避管理多个量子比特工程挑战的一种极具吸引力的捷径，但这可能会以性能的大幅下降为代价。研究表明，对于一维数据，增加第二个量子比特所带来的额外复杂性不仅是一种奢侈，更是实现可靠训练的必要条件。双量子比特系统凭借其能同时在多个方向移动的能力，提供了寻找最优解所需的鲁棒性。虽然研究人员并未测试所有可能的场景，但他们在现实世界数据集上的模拟证实，单量子比特方法往往会导致更高的预测误差。最终，这项工作证明了在量子领域，拥有更多的活动空间不仅仅是关于拥有更多空间，更是关于拥有在原本难以驾驭的景观中找到正确路径的自由。
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