Complete Subset Averaging with Many Instruments

ملخص تقني: متوسط المجموعات الجزئية الكاملة مع العديد من الأدوات

بيان المشكلة
تعد مقدرات المتغيرات الاداتية (IV)، وخاصة طريقة المربعات الصغرى ذات المرحلتين (2SLS)، معايير قياسية لمعالجة مشكلة الداخلية في النماذج الاقتصادية. وبينما يمكن لاستخدام مجموعة كبيرة من الأدوات (الإفراط في التحديد) أن يحسن الكفاءة، إلا أنه يفرض مقايضة: فزيادة عدد الأدوات غالباً ما تزيد من انحياز المقدر في العينات المحدودة. وقد عالجت الأدبيات الحالية ذلك من خلال اختيار النماذج (مثل Donald and Newey, 2001)، أو متوسط النماذج بالأوزان المقدرة (مثل Kuersteiner and Okui, 2010)، أو طرق الانكماش (مثل Okui, 2011). ومع ذلك، تواجه هذه النهج قيوداً عندما تكون الأدوات شديدة الارتباط (حيث قد تفشل طرق اختيار النماذج مثل Lasso)، أو عندما تؤدي عملية تقدير الأوزان المثلى في الأبعاد العالية إلى خسائر في كفاءة العينة المحدودة. علاوة على ذلك، تتطلب معظم نهج متوسط النماذج الحالية نماذج متداخلة أو مجموعات رئيسية محددة مسبقاً من الأدوات.

المنهجية
يقترح المؤلفون مقدر متوسط المجموعات الجزئية الكاملة لـ 2SLS (CSA 2SLS). يعمل هذا الأسلوب في المرحلة الأولى من خلال بناء متوسط متساوٍ الأوزان للقيم المقدرة عبر جميع المجموعات الجزئية الكاملة المكونة من $k$ من الأدوات المختارة من إجمالي $K$ من الأدوات المتاحة.

1. بناء المقدر:

   • لتكن $Z_{K,i}$ هي متجه الأدوات المستبعدة البالغ عددها $K$.
   • لحجم مجموعة جزئية مختار $k$، هناك $M = \binom{K}{k}$ من المجموعات الجزئية الممكنة.
   • لكل مجموعة جزئية $m$، يتم حساب مصفوفة إسقاط 2SLS قياسية $P^k_m$.
   • مصفوفة الإسقاط لـ CSA، ويُرمز لها بـ $P^k$، هي المتوسط الحسابي لهذه المصفوفات الـ $M$ من مصفوفات الإسقاط: $P^k = \frac{1}{M} \sum_{m=1}^M P^k_m$.
   • يُعرف المقدر بـ $\hat{\beta} = (X'P^k X)^{-1} X'P^k y$.
   • من الضروري ملاحظة أن $P^k$ متناظرة ولكنها ليست متطابقة (idempotent) بشكل عام، مما يميزها عن مصفوفات الإسقاط القياسية في 2SLS.

2. اختيار حجم المجموعة الجزئية:

   • يتم اختيار حجم المجموعة الجزئية $k$ عن طريق تقليل المقابل العيني لمتوسط مربع الخطأ (MSE) التقريبي.
   • يتم اشتقاق متوسط مربع الخطأ التقريبي باستخدام توسيع Nagar (1959)، الذي يلتقط المقايضة بين الانحياز والتباين في العينات المحدودة.
   • يقترح المؤلفون أيضاً طريقة التحقق المتقاطع (CV) كبديل لمتوسط مربع الخطأ التقريبي لاختيار $k$، والتي تقلل من متوسط خطأ التنبؤ في المرحلة الأولى.

3. التعامل مع الأدوات غير ذات الصلة:

   • يعمم البحث متوسط مربع الخطأ التقريبي لحالات ينمو فيها عدد الأدوات غير ذات الصلة مع حجم العينة.
   • تتضمن الصيغة المشتقة حداً جزائياً يعتمد على نسبة المجموعات ذات الصلة إلى إجمالي المجموعات، مما يشير إلى أن $k$ الأمثل يجب أن يكون أكبر في وجود أدوات غير ذات صلة لتخفيف حدة تخفيف الإشارة (signal dilution).

المساهمات النظرية الرئيسية

1. اشتقاق متوسط مربع الخطأ التقريبي: اشتق المؤلفون متوسط مربع الخطأ التقريبي لمقدر CSA-2SLS باستخدام توسيع Nagar. وتتمثل إحدى التحديات التقنية الكبيرة التي تمت معالجتها في أن متوسط مصفوفات الإسقاط غير المتداخلة ليس مصفوفة متطابقة، مما يتطلب تقنيات تحليلية جديدة مقارنة بالأدبيات التي تفترض نماذج متداخلة. وتوضح الصيغة المشتقة صراحةً المقايضة بين الانحياز والتباين.
2. الأمثلية التقاربية: يثبت البحث أن مقدر CSA-2SLS، مع اختيار $k$ لتقليل متوسط مربع الخطأ التقريبي العيني، هو أمثل تقاربياً ضمن فئة مقدرات CSA-2SLS ذات أحجام المجموعات الجزئية المختلفة. وقد تم إثبات هذه النتيجة بناءً على معايير الأمثلية لـ Li (1987) و Whittle (1960).
3. التعميم على الأدوات غير ذات الصلة: وسع المؤلفون تحليل MSE ليشمل الحالات التي ينمو فيها عدد الأدوات غير ذات الصلة. وأظهروا أن وجود أدوات غير ذات صلة يزيد من الجزاء المفروض على أحجام المجموعات الجزئية الصغيرة، مما يبرر نظرياً اختيار $k$ أكبر مما كان سيتم اختياره في حالة وجود أدوات ذات صلة فقط.
4. حالة الأدوات المتعامدة: يوضح البحث أنه إذا كانت الأدوات متعامدة متبادلة، فإن مقدر CSA-2SLS يكون مطابقاً لمقدر 2SLS القياسي باستخدام جميع الأدوات $K$، بغض النظر عن $k$ المختارة.

النتائج التجريبية والمحاكاة

• محاكاة مونت كارلو: أظهرت عمليات المحاكاة المكثفة أنه عندما تكون الأدوات مرتبطة، يتفوق مقدر CSA-2SLS على الطرق البديلة (بما في ذلك اختيار Donald-Newey، ومتوسط Kuersteiner-Okui، و2SLS القياسي) من حيث الانحياز ومتوسط مربع الخطأ (MSE). وتعد الطريقة فعالة بشكل خاص في تقليل "مشكلة اللحظات" (القيم المتطرفة الكبيرة) المرتبطة بمجموعات الأدوات الصغيرة في ظل وجود داخلية عالية.
• التوضيح التجريبي: طبق المؤلفون الطريقة لتقدير دالة الطلب اللوجستيستية على السيارات باستخدام بيانات Berry, Levinsohn, and Pakes (1995).
  • في تصميم موسع يحتوي على العديد من الأدوات، أنتجت تقديرات 2SLS القياسية والمقدرات الأخرى (DN, KO) تقديرات تشير إلى طلب غير مرن لجزء كبير من المنتجات، مما يناقض النظرية الاقتصادية.
  • أدت تقديرات CSA-2SLS إلى قيمة مطلقة أكبر لمعامل مرونة السعر، حيث أظهر 0.3% فقط من المنتجات طلباً غير مرن. وهذا يشير إلى أن مقدر CSA نجح في تصحيح انحياز "الأدوات الكثيرة" الذي دفع التقديرات نحو نتائج OLS غير المتسقة.

الأهمية والادعاءات
يزعم البحث أن مقدر CSA-2SLS يقدم بديلاً قوياً للإعدادات التي تحتوي على العديد من الأدوات، خاصة عندما تكون تلك الأدوات مرتبطة. ومن خلال استخدام المتوسط متساوي الأوزان عبر المجموعات الجزئية الكاملة بدلاً من اختيار النماذج أو تقدير الأوزان، تتجنب الطريقة العثرات الناتجة عن الانهيار تحت تأثير الارتباط العالي أو خسائر الكفاءة الناتجة عن تقدير الأوزان عالية الأبعاد. ويؤكد المؤلفون أن الطريقة تحقق الأمثلية التقاربية ضمن فئتها وتوفر مكاسب جوهرية في العينة المحدودة من حيث تقليل الانحياز وMSE، كما هو موضح في كل من المحاكاة والتطبيق التجريبي.

القيود التي ذكرها المؤلفون

• يفترض اشتقاق متوسط مربع الخطأ التقريبي أخطاءً متجانسة التباين شرطياً.
• التركيز ينصب حصراً على مقدر 2SLS؛ وقد تم تأجيل التوسعات لتشمل مقدرات الفئة k (مثل LIML) إلى أبحاث مستقبلية.
• تفترض الطريقة صحة الأدوات؛ وبينما تعالج الأدوات غير ذات الصلة، فإنها لا تعالج الأدوات غير الصالحة (invalid instruments).