Complete Subset Averaging with Many Instruments

Resumo Técnico: Média de Subconjuntos Completos com Muitos Instrumentos

Definição do Problema
Os estimadores de variáveis instrumentais (IV), particularmente o Método de Mínimos Quadrados em Dois Estágios (2SLS), são padrões para abordar a endogeneidade em modelos econômicos. Embora o uso de um grande conjunto de instrumentos (sobreidentificação) possa melhorar a eficiência, isso introduz um compromisso (trade-off): aumentar o número de instrumentos frequentemente aumenta o viés de amostra finita do estimador. A literatura existente abordou isso através de seleção de modelos (por exemplo, Donald e Newey, 2001), média de modelos com pesos estimados (por exemplo, Kuersteiner e Okui, 2010) ou métodos de contração/encolhimento (shrinkage) (por exemplo, Okui, 2011). No entanto, essas abordagens enfrentam limitações quando os instrumentos são altamente correlacionados (onde a seleção de modelos como o Lasso pode falhar) ou quando a estimativa de pesos ótimos em alta dimensão leva a perdas de eficiência em amostras finitas. Além disso, as abordagens de média de modelos existentes frequentemente exigem modelos aninhados ou conjuntos principais de instrumentos pré-especificados.

Metodologia
Os autores propõem o estimador CSA-2SLS (Média de Subconjuntos Completos). Este método opera no primeiro estágio construindo uma média ponderada igualmente sobre todos os valores ajustados de todos os subconjuntos completos de $k$ instrumentos escolhidos de um total de $K$ instrumentos disponíveis.

1. Construção do Estimador:

   • Seja $Z_{K,i}$ o vetor de $K$ instrumentos excluídos.
   • Para um tamanho de subconjunto $k$ escolhido, existem $M = \binom{K}{k}$ subconjuntos possíveis.
   • Para cada subconjeto $m$, uma matriz de projeção 2SLS padrão $P^k_m$ é computada.
   • A matriz de projeção CSA, denotada por $P^k$, é a média aritmética dessas $M$ matrizes de projeção: $P^k = \frac{1}{M} \sum_{m=1}^M P^k_m$.
   • O estimador é definido como $\hat{\beta} = (X'P^k X)^{-1} X'P^k y$.
   • Crucialmente, $P^k$ é simétrica, mas geralmente não é idempotente, distinguindo-se das matrizes de projeção 2SLS padrão.

2. Seleção do Tamanho do Subconjunto:

   • O tamanho do subconjunto $k$ é escolhido minimizando o contraparte amostral de um Erro Quadrático Médio (MSE) aproximado.
   • O MSE aproximado é derivado de uma expansão de Nagar (1959), que captura o compromisso entre viés e variância em amostras finitas.
   • Os autores também propõem um método de Validação Cruzada (CV) como alternativa ao MSE aproximado para a seleção de $k$, que minimiza o erro quadrático médio de previsão do primeiro estágio.

3. Tratamento de Instrumentos Irrelevantes:

   • O artigo generaliza o MSE aproximado para cenários onde o número de instrumentos irrelevantes cresce com o tamanho da amostra.
   • A fórmula derivada inclui um termo de penalidade dependente da razão entre instrumentos relevantes e o total, sugerindo que o $k$ ótimo deve ser maior na presença de instrumentos irrelevantes para mitigar a diluição do sinal.

Principais Contribuições Teóricas

1. Derivação do MSE Aproximado: Os autores derivam o MSE aproximado para o estimador CSA-2SLS usando a expansão de Nagar. Um desafio técnico significativo abordado é que a média de matrizes de projeção não aninhadas não é idempotente, exigindo novas técnicas analíticas comparadas à literatura que assume modelos aninhados. A fórmula derivada mostra explicitamente o compromisso entre viés e variância.
2. Otimalidade Assintótica: O artigo prova que o estimador CSA-2SLS, com $k$ escolhido para minimizar o MSE aproximado amostral, é assintoticamente ótimo dentro da classe de estimadores CSA-2SLS com diferentes tamanhos de subconjunto. Este resultado é estabelecido com base nos critérios de otimalidade de Li (1987) e Whittle (1960).
3. Generalização para Instrumentos Irrelevantes: Os autores estendem a análise de MSE para casos com um conjunto crescente de instrumentos irrelevantes. Eles mostram que a presença de instrumentos irrelevantes aumenta a penalidade para pequenos tamanhos de subconjunto, justificando teoricamente a seleção de um $k$ maior do que seria escolhido em um cenário com apenas instrumentos relevantes.
4. Caso de Instrumentos Ortogonais: O artigo demonstra que, se os instrumentos forem mutuamente ortogonais, o estimador CSA-2SLS é idêntico ao estimador 2SLS padrão usando todos os $K$ instrumentos, independentemente do $k$ escolhido.

Resultados Empíricos e de Simulação

• Simulações de Monte Carlo: Simulações extensas mostram que, quando os instrumentos são correlacionados, o estimador CSA-2SLS supera métodos alternativos (incluindo a seleção de Donald-Newey e a média de Kuersteiner-Okui, além do 2SLS padrão) em termos de viés e Erro Quadrático Médio (MSE). O método é particularmente eficaz em reduzir o "problema dos momentos" (outliers grandes) associado a pequenos conjuntos de instrumentos na presença de alta endogeneidade.
• Ilustração Empírica: Os autores aplicam o método para estimar uma função de demanda logística para automóveis usando dados de Berry, Levinsohn e Pakes (1995).
  • Em um desenho estendido com muitos instrumentos, os estimadores 2SLS padrão e outros (DN, KO) produziram estimativas que implicavam demanda inelástica para uma grande parte dos produtos, contradizendo a teoria econômica.
  • As estimativas CSA-2SLS resultaram em um valor absoluto muito maior para o coeficiente de elasticidade-preço, com apenas 0,3% dos produtos apresentando demanda inelástica. Isso sugere que o estimador CSA corrigiu com sucesso o viés de muitos instrumentos que puxava as estimativas em direção aos resultados inconsistentes do OLS.

Significância e Alegações
O artigo afirma que o estimador CSA-2SLS oferece uma alternativa robusta para configurações com muitos instrumentos, particularmente quando esses instrumentos são correlacionados. Ao utilizar a média ponderada igualmente sobre subconjuntos completos em vez de seleção de modelos ou estimativa de pesos, o método evita as armadilias de colapso sob alta correlação e as perdas de eficiência da estimativa de pesos de alta dimensão. Os autores afirmam que o método alcança a otimalidade assintótica dentro de sua classe e proporciona ganhos substanciais em amostras finitas na redução de viés e MSE em comparação com abordagens existentes, conforme evidenciado tanto por simulação quanto por aplicação empírica.

Limitações Notadas pelos Autores

• A derivação do MSE aproximado assume erros condicionalmente homocedásticos.
• O foco é estritamente no estimador 2SLS; extensões para estimadores da classe k, como o Máximo de Verossimilhança de Informação Limitada (LIML), são adiadas para pesquisas futuras.
• O método assume que os instrumentos são válidos; embora trate de instrumentos irrelevantes, ele não aborda instrumentos inválidos.