Complete Subset Averaging with Many Instruments

技術要約：多数の操作変数を用いた完全部分集合平均化（Complete Subset Averaging）

問題提起
操作変数（IV）推定量、特に二段階最小二乗法（2SLS）は、経済モデルにおける内生性を対処するための標準的な手法である。多数の操作変数を用いる（過剰識別）ことは効率性を向上させる可能性がある一方で、トレードオフも導入する。すなわち、操作変数の数を増やすと、推定量の有限標本バイアスが増大する場合がある。既存の文献では、モデル選択（Donald and Newey, 2001）、推定された重みを用いたモデル平均化（Kuersteiner and Okui, 2010）、あるいは縮小法（Okui, 2011）によってこの問題に対処してきた。しかし、これらの手法は、操作変数が高度に相関している場合（Lassoのようなモデル選択が失敗する可能性があるケース）や、高次元における最適重みの推定が高次元における有限標本の効率損失を招く場合に、限界に直面する。さらに、既存のモデル平均化アプローチは、多くの場合、入れ子状のモデルや事前に指定された主要な操作変数のセットを必要とする。

手法
著者らは、完全部分集合平均化（CSA）2SLS 推定量を提案する。この手法は、利用可能な全 $K$ 個の操作変数から選ばれる $k$ 個の操作変数のすべての完全部分集合について、適合値の等重み平均を構成することで第一段階において機能する。

1. 推定量の構成:

   • $Z_{K,i}$ を $K$ 個の除外された操作変数のベクトルとする。
   • 選択された部分集合のサイズ $k$ に対して、存在する部分集合の数は $M = \binom{K}{k}$ である。
   • 各部分集合 $m$ について、標準的な2SLS射影行列 $P^k_m$ が計算される。
   • CSA射影行列 $P^k$ は、これら $M$ 個の射影行列の算術平均である：$P^k = \frac{1}{M} \sum_{m=1}^M P^k_m$。
   • 推定量は $\hat{\beta} = (X'P^k X)^{-1} X'P^k y$ と定義される。
   • 決定的な点として、$P^k$ は対称であるが、一般には冪等（idempotent）ではない。これは標準的な2SLS射影行列とは異なる性質である。

2. 部分集合サイズの選択:

   • $k$ は、近似的な平均二乗誤差（MSE）の標本対応量を最小化することによって選択される。
   • この近似MSEは、有限標本におけるバイアスと分散のトレードオフを捉えるNagar (1959) の展開を用いて導出される。
   • 著者らはまた、近似MSEに代わる $k$ の選択方法として、第一段階の平均二乗予測誤差を最小化するクロスバリデーション（CV）法も提案している。

3. 無関係な操作変数の扱い:

   • 本論文は、無関係な操作変数の数が標本サイズとともに増大するシナリオへと、近似MSEを一般化している。
   • 導出された式には、関連する部分集合と全部分集合の比率に依存するペナルティ項が含まれており、信号の希釈化を軽減するために、最適な $k$ は無関係な操作変数が存在する場合により大きくすべきであることを示唆している。

主な理論的貢献

1. 近似MSEの導出: 著者らは、Nagar展開を用いてCSA-2SLS推定量の近似MSEを導出した。解決すべき重要な技術的課題は、非入れ子状の射影行列の平均は冪等ではないということであり、入れ子状のモデルを仮定する既存の文献と比較して、新たな分析手法を必要とした点である。導出された式は、バイアスと分散のトレードオフを明示的に示している。
2. 漸近的最適性: 著者らは、異なる部分集合サイズを持つCSA-2SLSクラスの中で、標本近似MSEを最小化するように選択された $k$ を用いたCSA-2SLS推定量が、漸近的に最適であることを証明した。この結果は、Li (1987) および Whittle (1960) の最適性基準に基づいて確立されている。
3. 無関係な操作変数への一般化: 著者らは、無関係な操作変数の集合が増大する場合へとMSEの分析を拡張した。彼らは、無関係な操作変数の存在が小さな部分集合サイズに対するペナルティを増大させることを示し、理論的に、関連する操作変数のみが存在する場合よりも大きな $k$ を選択すべきであることを正当化した。
4. 直交操作変数のケース: 本論文は、もし操作変数が互いに直交しているならば、CSA-2SLS推定量は、選択された $k$ に関わらず、全 $K$ 個の操作変数を用いた標準的な2SLS推定量と同一であることを示している。

実証およびシミュレーション結果

• モンテカルロ・シミュレーション: 広範なシミュレーションにより、操作変数が相関している場合、CSA-2SLS推定量は、バイアスおよび平均二乗誤差（MSE）の観点から、代替手法（Donald-Neweyの選択、Kuersteiner-Okuiの平均化、および標準的な2SLSを含む）よりも優れた性能を示すことが示された。この手法は、高い内生性を伴う状況下での小さな操作変数セットに関連する「モーメント問題」（大きな外れ値）を軽減する上で特に効果的である。
• 実証例: 著者らは、Berry, Levinsohn, and Pakes (1995) のデータを用い、自動車のロジスティック需要関数を推定することに本手法を適用した。
  • 多数の操作変数を含む拡張デザインにおいて、標準的な2SLSおよび他の推定量（DN, KO）は、多くの製品に対して非弾力的な需要を示唆する推定値を生じさせ、経済理論に矛盾する結果となった。
  • CSA-2SLSによる推定値は、価格弾力性係数の絶対値を大幅に大きくし、非弾力的な需要を示す製品はわずか0.3%であった。これは、CSA推定量が、推定値を一貫したOLSの結果へと引き寄せる「多数の操作変数によるバイアス」を効果的に修正できたことを示唆している。

意義と主張
本論文は、CSA-2SLS推定量が、特に操作変数が相関している設定において、多数の操作変数を用いるための堅牢な代替案を提供すると主張している。モデル選択や重みの推定ではなく、完全部分集合にわたる等重み平均を利用することで、高相関によって崩壊するリスクや、高次元の重みを推定することによる効率性の損失を回避している。著者らは、本手法がそのクラス内で漸近的最適性を達成しており、シミュレーションと実証適用による両面から、バイアスおよびMSEの低減において既存のアプローチと比較して実質的な有限標本上の利点を提供することを断言している。

著者が指摘する限界

• 近似MSEの導出は、条件付き分散不均一（ホモスケダスティック）な誤差を仮定している。
• 焦点は厳密に2SLS推定量に絞られており、LIML（限定情報最大尤度法）のようなk-class推定量への拡張は今後の研究課題としている。
• 本手法は操作変数が妥当であることを前提としている。無関係な操作変数は扱うが、無効な（妥当でない）操作変数については扱わない。