Complete Subset Averaging with Many Instruments

Sintesi Tecnica: Media dei Sottoinsiemi Completi con Molti Strumenti

Definizione del Problema
Gli stimatori delle variabili strumentali (IV), in particolare i minimi quadrati a due stadi (2SLS), sono lo standard per affrontare l'endogeneità nei modelli economici. Sebbene l'utilizzo di un grande insieme di strumenti (sovra-identificazione) possa migliorare l'efficienza, ciò introduce un compromesso: aumentare il numero di strumenti spesso aumenta il bias in campioni finiti dello stimatore. La letteratura esistente ha affrontato questo problema attraverso la selezione del modello (ad esempio, Donald e Newey, 2001), la media dei modelli con pesi stimati (ad esempio, Kuersteiner e Okui, 2010) o metodi di contrazione (ad esempio, Okui, 2011). Tuttavia, questi approcci presentano limitazioni quando gli strumenti sono altamente correlati (dove la selezione del modello come il Lasso può fallire) o quando la stima di pesi ottimali in alta dimensione conduce a perdite di efficienza in campioni finiti. Inoltre, gli approcci di media dei modelli esistenti richiedono spesso modelli annidati o insiemi principali di strumenti pre-specificati.

Metodologia
Gli autori propongono lo stimatore CSA-2SLS (Complete Subset Averaging 2SLS). Questo metodo opera nel primo stadio costruendo una media pesata equamente dei valori stimati su tutti i possibili sottoinsiemi completi di $k$ strumenti scelti da un totale di $K$ strumenti disponibili.

1. Costruzione dello Stimatore:

   • Sia $Z_{K,i}$ il vettore dei $K$ strumenti esclusi.
   • Per una data dimensione del sottoinsieme $k$, esistono $M = \binom{K}{k}$ possibili sottoinsiemi.
   • Per ogni sottoinsieme $m$, viene calcolata una matrice di proiezione 2SLS standard $P^k_m$.
   • La matrice di proiezione CSA, denotata con $P^k$, è la media aritmetica di queste $M$ matrici di proiezione: $P^k = \frac{1}{M} \sum_{m=1}^M P^k_m$.
   • Lo stimatore è definito come $\hat{\beta} = (X'P^k X)^{-1} X'P^k y$.
   • Fondamentalmente, $P^k$ è simmetrica ma generalmente non idempotente, il che la distingue dalle matrici di proiezione 2SLS standard.

2. Selezione della Dimensione del Sottoinsieme:

   • La dimensione del sottoinsieme $k$ viene scelta minimizzando il controparte campionaria di un approssimazione dell'Errore Quadratico Medio (MSE).
   • L'approssimazione dell'MSE è derivata da un'espansione di Nagar (1959), che cattura il compromesso tra bias e varianza in campioni finiti.
   • Gli autori propongono inoltre un metodo di Cross-Validation (CV) come alternativa all'approssimazione dell'MSE per la selezione di $k$, che minimizza l'errore quadratico medio di previsione del primo stadio.

3. Gestione degli Strumenti Irrilevanti:

   • Il documento generalizza l'approssimazione dell'MSE a scenari in cui il numero di strumenti irrilevanti cresce con la dimensione del campione.
   • La formula derivata include un termine di penalità dipendente dal rapporto tra sottoinsiemi rilevanti e totali, suggerendo che l'ottimale $k$ debba essere maggiore in presenza di strumenti irrilevanti per mitigare la diluizione del segnale.

Contributi Teorici Chiave

1. Derivazione dell'MSE Approssimato: Gli autori derivano l'MSE approssimato per lo stimatore CSA-2SLS utilizzando l'espansione di Nagar. Una sfida tecnica significativa affrontata è che la media di matrici di proiezione non annidate non è idempotente, richiedendo nuove tecniche analitiche rispetto alla letteratura che assume modelli annidati. La formula derivata mostra esplicitamente il compromesso tra bias e varianza.
2. Ottimalità Asintotica: Il documento dimostra che lo stimatore CSA-2SLS, con $k$ scelto per minimizzare l'approssimazione dell'MSE campionario, è asintoticamente ottimale all'interno della classe di stimatori CSA-2SLS con diverse dimensioni di sottoinsieme. Questo risultato è stabilito sulla base dei criteri di ottimalità di Li (1987) e Whittle (1960).
3. Generalizzazione agli Strumenti Irrilevanti: Gli autori estendono l'analisi dell'MSE a casi con un insieme crescente di strumenti irrilevanti. Dimostrano che la presenza di strumenti irrilevanti aumenta la penalità per piccole dimensioni di sottoinsieme, giustificando teoricamente la scelta di un $k$ più grande rispetto a quanto verrebbe scelto in un contesto con soli strumenti rilevanti.
4. Caso di Strumenti Ortogonali: Il documento dimostra che se gli strumenti sono mutuamente ortogonali, lo stimatore CSA-2SLS è identico allo stimatore 2SLS standard utilizzando tutti i $K$ strumenti, indipendentemente dal $k$ scelto.

Risultati Empirici e di Simulazione

• Simulazioni Monte Carlo: Ampie simulazioni mostrano che, quando gli strumenti sono correlati, lo stimatore CSA-2SLS supera i metodi alternativi (inclusi la selezione di Donald-Newey, la media di Kuersteiner-Okui e il 2SLS standard) in termini di bias e Errore Quadratico Medio (MSE). Il metodo è particolarmente efficace nel ridurre il "problema dei momenti" (outlier elevati) associato a piccoli set di strumenti in presenza di alta endogeneità.
• Illustrazione Empirica: Gli autori applicano il metodo per stimare una funzione di domanda logistica per le automobili utilizzando i dati di Berry, Levinsohn e Pakes (1995).
  • In un design esteso con molti strumenti, gli stimatori 2SLS standard e altri (DN, KO) hanno prodotto stime che implicavano una domanda anelastica per una larga porzione di prodotti, contraddicendo la teoria economica.
  • Le stime CSA-2SLS hanno prodotto un valore assoluto molto più grande per il coefficiente di elasticità del prezzo, con solo lo 0,3% dei prodotti che mostra una domanda anelastica. Ciò suggerisce che lo stimatore CSA ha corretto con successo il bias dovuto ai molti strumenti che spingeva le stime verso i risultati inconsistenti dell'OLS.

Significato e Rivendicazioni
Il documento sostiene che lo stimatore CSA-2SLS offre un'alternativa robusta per contesti con molti strumenti, particolarmente quando tali strumenti sono correlati. Utilizzando una media pesata equamente su sottoinsiemi completi anziché la selezione del modello o la stima dei pesi, il metodo evita le criticità del collasso sotto alta correlazione e le perdite di efficienza della stima di pesi in alta dimensione. Gli autori affermano che il metodo raggiunge l'ottimalità asintotica all'interno della sua classe e fornisce sostanziali guadagni in termini di riduzione del bias e dell'MSE in campioni finiti rispetto agli approcci esistenti, come dimostrato sia dalle simulazioni che dall'applicazione empirica.

Limitazioni Note dagli Autori

• La derivazione dell'MSE approssimato assume errori condizionatamente omoschedastici.
• Il focus è strettamente sul modello 2SLS; estensioni a stimatori della classe k-class come il LIML (Limited Information Maximum Likelihood) sono differite a ricerche future.
• Il metodo assume che gli strumenti siano validi; sebbene gestisca strumenti irrilevanti, non affronta strumenti non validi.