Complete Subset Averaging with Many Instruments

Resumen Técnico: Promedio de Subconjuntos Completos con Muchos Instrumentos

Planteamiento del Problema
Los estimadores de variables instrumentales (IV), particularmente los de Mínimos Cuadrados en Dos Etapas (2SLS), son el estándar para abordar la endogeneidad en modelos económicos. Si bien el uso de un gran conjunto de instrumentos (sobreidentificación) puede mejorar la eficiencia, esto introduce un compromiso: aumentar el número de instrumentos suele incrementar el sesgo de muestra finita del estimador. La literatura existente ha abordado esto mediante la selección de modelos (por ejemplo, Donald y Newey, 2001), el promedio de modelos con pesos estimados (por ejemplo, Kuersteiner y Okui, 2010), o métodos de contracción o shrinkage (por ejemplo, Okui, 2011). Sin embargo, estos enfoques enfrentan limitaciones cuando los instrumentos están altamente correlacionados (donde la selección de modelos como Lasso puede fallar) o cuando la estimación de pesos óptimos en altas dimensiones conduce a pérdidas de eficiencia en muestras finitas. Además, los enfoques de promedio de modelos existentes a menudo requieren modelos anidados o conjuntos principales de instrumentos preespecificados.

Metodología
Los autores proponen el estimador CSA-2SLS (Promedio de Subconjuntos Completos). Este método opera en la primera etapa construyendo un promedio de pesos iguales de los valores ajustados sobre todos los posibles subconjuntos completos de $k$ instrumentos elegidos de un total de $K$ instrumentos disponibles.

1. Construcción del Estimador:

   • Sea $Z_{K,i}$ el vector de $K$ instrumentos excluidos.
   • Para un tamaño de subconjunto $k$ elegido, existen $M = \binom{K}{k}$ subconjuntos posibles.
   • Para cada subconjunto $m$, se computa una matriz de proyección 2SLS estándar $P^k_m$.
   • La matriz de proyección CSA, denotada como $P^k$, es la media aritmética de estas $M$ matrices de proyección: $P^k = \frac{1}{M} \sum_{m=1}^M P^k_m$.
   • El estimador se define como $\hat{\beta} = (X'P^k X)^{-1} X'P^k y$.
   • Crucialmente, $P^k$ es simétrica pero generalmente no es idempotente, lo que la distingue de las matrices de proyección 2SLS estándar.

2. Selección del Tamaño del Subconjunto:

   • El tamaño del subconjunto $k$ se elige minimizando el contraparte muestral de un Error Cuadrático Medio (MSE) aproximado.
   • El MSE aproximado se deriva de una expansión de Nagar (1959), que captura el compromiso entre sesgo y varianza en muestras finitas.
   • Los autores también proponen un método de Validación Cruzada (CV) como alternativa al MSE aproximado para seleccionar $k$, el cual minimiza el error cuadrático medio de predicción de la primera etapa.

3. Manejo de Instrumentos Irrelevantes:

   • El artículo generaliza el MSE aproximado a escenarios donde el número de instrumentos irrelevantes crece con el tamaño de la muestra.
   • La fórmula derivada incluye un término de penalización dependiente de la relación entre instrumentos relevantes y el total, lo que sugiere que el $k$ óptimo debería ser mayor en presencia de instrumentos irrelevantes para mitigar la dilución de la señal.

Contribuciones Teóricas Clave

1. Derivación del MSE Aproximado: Los autores derivan el MSE aproximado para el estimador CSA-2SLS utilizando la expansión de Nagar. Un desafío técnico significativo abordado es que el promedio de matrices de proyección no anidadas no es idempotente, lo que requiere nuevas técnicas analíticas comparadas con la literatura que asume modelos anidados. La fórmula derivada muestra explícitamente el compromiso entre sesgo y varianza.
2. Optimalidad Asintótica: El artículo demuestra que el estimador CSA-2SLS, con un $k$ elegido para minimizar el MSE aproximado muestral, es asintóticamente óptimo dentro de la clase de estimadores CSA-2SLS con diferentes tamaños de subconjunto. Este resultado se establece basado en los criterios de optimalidad de Li (1987) y Whittle (1960).
3. Generalización a Instrumentos Irrelevantes: Los autores extienden el análisis de MSE a casos con un conjunto creciente de instrumentos irrelevantes. Demuestran que la presencia de instrumentos irrelevantes aumenta la penalización para tamaños de subconjunto pequeños, justificando teóricamente la selección de un $k$ más grande que el que se elegiría en un entorno con solo instrumentos relevantes.
4. Caso de Instrumentos Ortogonales: El artículo demuestra que si los instrumentos son mutuamente ortogonales, el estimador CSA-2SLS es idéntico al estimador 2SLS estándar utilizando todos los $K$ instrumentos, independientemente del $k$ elegido.

Resultados Empíricos y de Simulación

• Simulaciones de Monte Carlo: Simulaciones extensas muestran que, cuando los instrumentos están correlacionados, el estimador CSA-2SLS supera a otros métodos (incluyendo la selección de Donald-Newey, el promedio de Kuersteiner-Okui y el 2SLS estándar) en términos de sesgo y Error Cuadrático Medio (MSE). El método es particularmente efectivo para reducir el "problema de momentos" (valores atípicos grandes) asociado con conjuntos de instrumentos pequeños en presencia de alta endogeneidad.
• Ilustración Empírica: Los autores aplican el método para estimar una función de demanda logística de automóviles utilizando datos de Berry, Levinsohn y Pakes (1995).
  • En un diseño extendido con muchos instrumentos, los estimadores 2SLS estándar y otros (DN, KO) produjeron estimaciones que implicaban una demanda inelástica para una gran parte de los productos, contradiciendo la teoría económica.
  • Las estimaciones de CSA-2SLS resultaron en un valor absoluto mucho mayor para el coeficiente de elasticidad precio, con solo el 0.3% de los productos mostrando una demanda inelástica. Esto sugiere que el estimador CSA corrigió con éxito el sesgo de muchos instrumentos que empujaba los resultados hacia los resultados inconsistentes de OLS.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo sostiene que el estimador CSA-2SLS ofrece una alternativa robusta para entornos con muchos instrumentos, particularmente cuando esos instrumentos están correlacionados. Al utilizar el promedio de pesos iguales sobre subconjuntos completos en lugar de la selección de modelos o la estimación de pesos, el método evita los problemas de colapso bajo alta correlación y las pérdidas de eficiencia de la estimación de pesos de alta dimensión. Los autores afirman que el método alcanza la optimalidad asintótica dentro de su clase y proporciona ganancias sustanciales en muestras finitas en la reducción de sesgo y MSE en comparación con enfoques existentes, como lo evidencia tanto la simulación como la aplicación empírica.

Limitaciones Señaladas por los Autores

• La derivación del MSE aproximado asume errores condicionalmente homocedásticos.
• El enfoque se limita estrictamente al estimador 2SLS; las extensiones a estimadores de la clase k, como el de Máxima Verosimilitud de Información Limitada (LIML), se dejan para investigaciones futuras.
• El método asume que los instrumentos son válidos; aunque maneja instrumentos irrelevantes, no aborda instrumentos inválidos.