Using the wavelet transform to separate scales in the Schrödinger equation and subsequently derive the Boltzmann equation

في المشهد الشاسع للفيزياء، يوجد انقسام جوهري بين كيفية سلوك الكون عندما ننظر إليه بمجهر، وكيفية سلوكه عندما ننظر إليه بالعين المجردة. ففي المقاييس الأصغر، توصف الجسيمات مثل الإلكترونات بواسطة ميكانيكا الكم، وهو عالم يتسم بالضبابية والاحتمالية والقدرة الغريبة على عكس الزمن؛ فإذا قمت بتشغيل فيلم لتفاعل جسيمين كميين بشكل عكسي، فإن الفيزياء ستظل منطقية. ومع ذلك، عندما نبتعد لنرى عالم الأشياء اليومية، نرى واقعًا مختلفًا تحكمه الميكانيكا الكلاسيكية، حيث تمتلك الأشياء مواضع وسرعات محددة، وحيث يتحرك الزمن للأمام فقط. لقد كان التحدي الكبير لعلماء الفيزياء هو سد هذه الفجوة: لإظهار كيف ينبثق التدفق غير العكسي والباتجاه الواحد للزمن في عالمنا العياني من القوانين المتماثلة زمنياً في العالم الكمومي. هذا السؤال مركزي لفهم كيفية انتقال الحرارة، وتمدد الغازات، وتبدد الطاقة، وكلها أمور توصف بمعادلة شهيرة تُعرف باسم معادلة بولتزمان.

لعقود من الزمن، حاول العلماء اشتقاق هذه المعادلة من المبادئ الأولية، لكنهم اصطدموا بحائط مسدود. فالنهج المعياري يعامل الحركات السلسة والبطيئة للجسيمات (التي تخلق تدفق الحرارة والقوة) والارتطامات المفاجئة والحادة فيما بينها (التي تخلق التصادمات والاحتكاك) كمسألتين منفصلتين تمامًا. إذ يشرح أحد الأساليب الحركة السلسة، بينما يشرح أسلوب آخر مختلف وغير مرتبط التصادمات. وقد ترك هذا الانقسام فجوة في فهمنا، لا سيما فيما يتعلق بالسبب الذي يجعل الزمن يبدو ذا اتجاه. والآن، اقترح باحث في معهد يوف في سانت بطرسبرغ طريقة جديدة للنظر إلى هذه المشكلة، مشيرًا إلى أن الحل يكمن في كيفية فصل مقاييس التفاعل المختلفة ضمن إطار موحد واحد.

يقدم الباحث، أ. ب. ميلاخس، تقنية مستعارة من معالجة الإشارات، وهو مجال يتعامل مع تحليل الموجات الصوتية والصور. في ذلك المجال، تُستخدم أداة تسمى "تحويل المويجات" (wavelet transform) لتفكيك إشارة معقدة إلى أجزائها المختلفة بناءً على سرعة تغيرها. يطبق ميلاخس هذا المنطق نفسه على معادلة شرودنجر، وهي المعادلة الأساسية التي تحكم الجسيمات الكمومية. فبدلاً من معاملة حقل طاقة الوضع بأكمله حول الجسيم كشيء واحد متجانس، يقوم هذا المنهج بفصل الحقل إلى فئتين متميزتين بناءً على مدى سرعة تغير الحقل عبر الفضاء. تتكون إحدى الفئات من الحقول التي تتغير ببطء وسلاسة شديدة، مثل منحدر لطيف. أما الفئة الأخرى فتتكون من الحقول التي تتغير بشكل حاد ومفاجئ، مثل جرف مفاجئ أو نتوء صغير مكثف.

باستخدام هذا الفصل، يوضح الباحث أن هذين النوعين من الحقول ينتجان سلوكين مختلفين تمامًا في النظام الكمومي، مما يؤدي طبيعيًا إلى الجزأين المختلفين من معادلة بولتزمان. فعندما يتفاعل الجسيم مع الحقول البطيئة والسلسة، تظهر الرياضيات أن النظام يتصرف تمامًا مثل جسيم كلاسيكي يتحرك في مسار يمكن التنبؤ به. يستعيد هذا الجزء من الاشتقاق معادلة ليوفيل، التي تصف كيفية تدفق مجموعة من الجسيمات عبر الفضاء والزمن دون فقدان معلومات أو خلق احتكاك. إنها عملية عكسية، تشبه إلى حد كبير بندولاً يعمل بدون احتكاك يتأرجح ذهابًا وإيابًا. وهذا يفسر مصطلحات "القوة" و"الانتشار" في معادلة بولتزمان، والتي تفسر كيفية تحرك الجسيمات تحت تأثير الحقول الخارجية أو تدرجات التركيز.

في المقابل الصارخ، عندما يتفاعل الجسيم مع الحقول الحادة وسريعة التغير، يكون السلوك مختلفًا تمامًا. هنا، لا يتبع النظام مسارًا سلسًا؛ بل يتسبب التفاعل في قفز الجسيم بين حالات مختلفة، وهو ما يمكن وصفه بشكل أفضل من خلال الاحتمالات ومعدلات الانتقال. هذا هو مجال القفزات الكمومية. ويظهر الباحث أنه عند تحليل هذه التفاعلات الحادة باستخدام طريقة المويجات نفسها، تنتج الرياضيات بشكل طبيعي "تكامل التصادم". وهذا الجزء من معادلة بولتمان هو الذي يعالج تصادم الجسيمات مع بعضها البعض، وتشتتها، وتبادل الطاقة. ومن الأهمية بمكان أن هذا الجزء من العملية غير عكسي. ويجادل الباحث بأن عدم العكسية هذا ينشأ لأن التفاعلات الحادة تسبب فقدان التزامن بين الأجزاء المختلفة للموجة الكمومية، وهي حالة تُعرف باسم "فقدان الترابط" (non-coherence). وبمجرد فقدان هذا الترابط، لا يمكن للنظام أن يعمل ببساطة إلى الوراء، ويكتسب الزمن سهمه.

تكمن أهمية هذا العمل في أنه يوحد هذين السلوكين المتناقضين ظاهريًا في اشتقاق واحد من معادلة شرودنجر. سابقًا، كان على الفيزيائيين استخدام مجموعة من الأدوات لشرح الحركة السلسة ومجموعة مختلفة تمامًا لشرح التصادمات، مما أدى غالبًا إلى الارتباك حول كيفية توافقهما معًا. يوضح ميلاخس أن الاختلاف ليس في طبيعة الجسيمات أو القوانين التي تتبعها، بل في مقياس التفاعل الذي تختبره. فالحقول السلسة ذات الطول الموجي الطويل تؤدي إلى الحركة الكلاسيكية العكسية، بينما تؤدي الحقول القصيرة ذات الطول الموجي القصير والحادة إلى السلوك التصادمي غير العكسي.

كما يقدم هذا النهج منظورًا جديدًا للغز القائم منذ فترة طويلة حول سبب كون معادلة بولتزمان غير عكسية بينما القوانين الكمومية الأساسية ليست كذلك. تشير الورقة إلى أن عدم العكسية لا يأتي من انهيار غامض للدالة الموجية أو من مراقب خارجي، بل من الطريقة المحددة التي يتفاعل بها النظام مع الجهود الحادة. فعندما يتفاعل النظام مع هذه السمات الحادة، تتداخل المسارات المحتملة المختلفة التي يمكن أن يسلكها الجسيم بطريقة تدمر علاقات الطور الدقيقة المطلوبة لعكسية الزمن. والنتيجة هي وصف إحصائي حيث يتحرك النظام نحو التوازن، تمامًا كما نلاحظ في العالم الحقيقي.

يغطي الاشتقاق كلاً من الفرميونات، وهي جسيمات مثل الإلكترونات التي لا يمكنها احتلال الحالة نفسها، والبوزونات، وهي جسيمات مثل الفوتونات التي يمكنها التراكم في الحالة نفسها. وتصمد الرياضيات لكليهما، مما يظهر أن الانتقال من القواعد الكمومية إلى معادلة بولتزمان الكلاسيكية هو سمة قوية للطبيعة تنطبق بغض النظر عن النوع المحدد للجسيمات المعنية. وبينما تقر الورقة بأن الفصل الرياضي الصارم للجهد إلى أجزاء "سلسة" و"حادة" يظل تحديًا للعمل المستقبلي، إلا أن الصورة الفيزيائية التي ترسمها واضحة. فهي تشير إلى أن العالم الكلاسيكي الذي نعيشه ليس طبقة منفصلة من الواقع، بل هو نتيجة لكيفية استجابة الأنظمة الكمومية لمقاييس مختلفة من القوة.

في نهاية المطاف، يقدم هذا البحث قصة أكثر اكتمالًا وتماسكًا حول كيفية انبثاق العالم العياني من العالم المجهري. فهو يحل التوتر بين الطبيعة العكسية لميكانيكا الكم والطبيعة غير العكسية للديناميكا الحرارية من خلال إظهار أنهما ببساطة وجهان مختلفان لنفس النظرية الأساسية. ومن خلال فصل مقاييس التفاعل، أظهر الباحث أن التدفق السلس للميكانيكا الكلاسيكية والتصادمات الفوضوية للميكانيكا الإحصائية ليسا متناقضين، بل هما وجهان لعملة واحدة، لا تظهر إلا عندما ننظر إلى العالم الكمومي من خلال العدسة الصحيحة. لا يملأ هذا العمل فجوة في المعادلات فحسب، بل يقدم فهمًا أعمق لكيفية سلوك الكون، بدءًا من الانجراف اللطيف لجزيء غاز وصولاً إلى التصادم العنيف للجسيمات في نجم.