Using the wavelet transform to separate scales in the Schrödinger equation and subsequently derive the Boltzmann equation

물리학의 광활한 풍경 속에는 우리가 현미경으로 들여다볼 때의 우주의 거동과 맨눈으로 볼 때의 거동 사이에 근본적인 차이가 존재합니다. 가장 작은 척도에서 전자와 같은 입자들은 양자 역학에 의해 기술되는데, 이곳은 사물이 모호하고 확률적이며 시간적으로 기이하게 가역적인 영역입니다. 만약 두 양자 입자가 상호작용하는 영상을 거꾸로 재생한다면, 그 물리학은 여전히 타당할 것입니다. 그러나 우리가 일상의 사물들이 존재하는 세계로 시야를 넓히면, 우리는 확정적인 위치와 속도를 가지며 시간은 오직 앞으로만 흐르는 고전 역학이 지배하는 다른 현실을 보게 됩니다. 물리학자들의 위대한 과제는 이 간극을 메우는 것이었습니다. 즉, 우리 거시 세계의 비가역적이고 일방향적인 시간의 흐로가 어떻게 양자 세계의 가역적이고 시간 대칭적인 법칙으로부터 발생하는지를 정확히 보여주는 것입니다. 이 질문은 열이 어떻게 이동하고, 가스가 어떻게 팽창하며, 에너지가 어떻게 소산되는지를 이해하는 데 핵심적이며, 이 모든 현상은 볼츠만 방정식이라 불리는 유명한 공식으로 설명됩니다.

수십 년 동안 과학자들은 제1원리로부터 이 방정식을 유도하려고 시도해 왔으나, 벽에 부딪혔습니다. 표준적인 접근 방식은 입자의 매끄럽고 완만한 움직임(열의 흐름과 힘을 생성함)과 입자 사이의 갑작스럽고 날카로운 충격(충돌과 마찰을 생성함)을 완전히 별개의 문제로 취급합니다. 한 방법은 매끄러운 운동을 설명하는 반면, 다른 관련 없는 방법은 충돌을 설명합니다. 이러한 분리는 특히 왜 시간이 방향성을 갖는가에 대한 우리의 이해에 공백을 남겼습니다. 상트페테르부르크의 이오프 연구소(Ioffe Institute)에 있는 한 연구자가 이 문제에 대한 새로운 관점을 제시하며, 해결책이 단일하고 통합된 틀 안에서 상호작용의 서로 다른 척도를 분리하는 방식에 있다고 제안했습니다.

연구자 A. P. 메일락스(A. P. Meilakhs)는 소리의 파동이나 이미지를 분석하는 분야인 신호 처리에서 빌려온 기법을 도입합니다. 해당 분야에서는 복잡한 신호를 변화하는 속도에 따라 여러 부분으로 분해하기 위해 웨이브릿 변환(wavelet transform)이라는 도구를 사용합니다. 메일락스는 이와 동일한 논리를 양자 입자를 지배하는 근본 방정식인 슈뢰딩거 방정식에 적용합니다. 입자 주변의 전체 퍼텐셜 에너지장을 하나의 균일한 것으로 취급하는 대신, 이 방법은 공간상에서 장(field)이 얼마나 빠르게 변하는지에 따라 두 가지 뚜렷한 범주로 분리합니다. 한 범주는 완만한 경사처럼 매우 느리고 매끄럽게 변하는 장으로 구성됩니다. 다른 범주는 갑작스러운 절벽이나 작고 강렬한 돌출부처럼 매우 날카롭고 급격하게 변하는 장입니다.

이러한 분리를 사용하여, 연구자는 이 두 유형의 장이 양자계에서 완전히 다른 행동을 만들어내며, 이것이 자연스럽게 볼츠만 방정식의 두 가지 서로 다른 부분으로 이어진다는 것을 입증합니다. 입자가 느리고 매끄러운 장과 상호작용할 때, 수학적 결과는 시스템이 예측 가능한 경로를 따라 움직이는 고전적 입자처럼 행동함을 보여줍니다. 이 유도는 리우빌 방정식(Liouville equation)을 회복시키는데, 이는 입자 집단이 정보의 손실이나 마찰 없이 공간과 시간을 통해 어떻게 흐르는지를 설명합니다. 이는 마치 마찰 없는 진자가 앞뒤로 흔들리는 것과 같은 가역적인 과정입니다. 이는 외부 장이나 농도 구배의 영향 아래 입자들이 어떻게 움직이는지를 설명하는 볼츠만 방정식의 "힘"과 "확산" 항을 설명합니다.

이와 극명하게 대조적으로, 입자가 날카롭고 빠르게 변하는 장과 상호작용할 때의 행동은 완전히 다릅니다. 여기서 시스템은 매끄러운 경로를 따르지 않습니다. 대신, 상호작용은 입자가 확률과 전이율로 가장 잘 설명되는 방식으로 서로 다른 상태 사이를 도약하게 만듭니다. 이것이 바로 양자 도약(quantum jumps)의 영역입니다. 연구자는 동일한 웨이브릿 방법을 사용하여 이러한 날카로운 상호작용을 분석할 때, 수학이 자연스럽게 "충돌 적분(collision integral)"을 산출한다는 것을 보여줍니다. 이는 입자들이 서로 부딪히고, 산란하며, 에너지를 교환하는 것을 설명하는 볼츠만 방정식의 부분입니다. 결정적으로, 이 과정은 비가역적입니다. 연구자는 이러한 비가역성이 날카로운 상호작용이 양자 파동의 서로 다른 부분들 사이의 동기화를 깨뜨려 '비결맞춤(non-coherence)' 상태를 유발하기 때문에 발생한다고 주장합니다. 일단 이 결맞음이 상실되면, 시스템은 단순히 역방향으로 돌아갈 수 없으며 시간은 화살표를 갖게 됩니다.

이 연구의 의의는 이 두 가지 상충하는 것처럼 보이는 행동을 슈뢰딩거 방정식으로부터 하나의 단일한 유도로 통합했다는 점에 있습니다. 이전에는 물리학자들이 매끄러운 운동을 설명하기 위한 한 세트의 도구와 충돌을 설명하기 위한 완전히 다른 세트의 도구를 사용해야 했으며, 이는 종종 혼란을 야기했습니다. 메일락스는 그 차이가 입자의 본질이나 그들이 따르는 법칙에 있는 것이 아니라, 그들이 경험하는 상호작용의 척도에 있다는 것을 보여줍니다. 매끄럽고 긴 파장의 퍼텐셜은 가역적인 고전적 듯한 운동을 이끌고, 짧은 파장의 날카로운 퍼텐셜은 비가역적인 충돌 행동을 이끕니다.

이 접근 방식은 또한 왜 볼츠만 방정식은 비가역적인 반면 근저에 있는 양자 법칙은 그렇지 않은가라는 오래된 수수께끼에 대해 새로운 관점을 제공합니다. 논문은 비가역성이 파동 함수의 신비로운 붕괴나 외부 관찰자로부터 오는 것이 아니라, 시스템이 날카로운 퍼텐셜과 상호작용하는 특정한 방식에서 비롯된다고 제안합니다. 시스템이 이러한 날카로운 특징들과 상호작용할 때, 입자가 취할 수 있는 서로 다른 가능한 경로들이 서로 간섭하여 가역성에 필요한 섬세한 위상 관계를 파괴합니다. 그 결과, 시스템이 평형을 향해 나아가는 통계적 기술이 나타나며, 이는 우리가 실제 세계에서 관찰하는 바와 같습니다.

이 유도는 페르미온(같은 상태를 점유할 수 없는 전자와 같은 입자)과 보존(같은 상태에 쌓일 수 있는 광자와 같은 입자) 모두를 다룹니다. 수학적 전개는 양자 규칙으로부터 고전적 볼츠만 방정식으로의 전이가 특정 입자의 종류와 상관없이 자연의 견고한 특징임을 보여주며, 두 경우 모두 성립합니다. 비록 이 논문이 퍼텐셜을 "매끄러운" 부분과 "날카로운" 부분으로 수학적으로 엄밀하게 분리하는 작업은 향후 과제로 남아 있음을 인정하지만, 그것이 그려내는 물리적 그림은 명확합니다. 그것은 우리가 경험하는 고전 세계가 별개의 실재 층위가 아니라, 양자계가 서로 다른 규모의 힘에 어떻게 반응하는지의 결과임을 시사합니다.

궁극적으로, 이 연구는 미시 세계로부터 거시 세계가 어떻게 출현하는지에 대한 더 완전하고 일관된 이야기를 제공합니다. 연구자는 양자 역학의 가역적 성질과 열역학의 비가역적 성질 사이의 긴장을, 그것들이 동일한 근저 이론의 두 가지 서로 다른 극한임을 보여줌으로써 해결합니다. 상호작용의 척도를 분리함으로써, 연구자는 매끄러운 고전 역학의 흐름과 통계 역학의 혼돈스러운 충돌이 서로 모순되는 것이 아니라, 단지 올바른 렌즈를 통해 보았을 때 드러나는 동전의 양면임을 보여주었습니다. 이 작업은 단순히 방정식의 빈틈을 채우는 것이 아니라, 가스의 완만한 흐름에서부터 별 내부의 격렬한 입자 충돌에 이르기까지 우주가 왜 그러한 방식으로 행동하는지에 대한 더 깊은 이해를 제공합니다.