Using the wavelet transform to separate scales in the Schrödinger equation and subsequently derive the Boltzmann equation

भौतिकी के विशाल परिदृश्य में, एक मौलिक विभाजन है कि ब्रह्मांड कैसा व्यवहार करता है जब हम इसे सूक्ष्मदर्शी (माइक्रोस्कोप) से देखते हैं और कैसा व्यवहार करता है जब हम इसे नग्न आंखों से देखते हैं। सबसे सूक्ष्म स्तरों पर, इलेक्ट्रॉन जैसे कण क्वांटम यांत्रिकी द्वारा वर्णित होते हैं, जो एक ऐसा क्षेत्र है जहाँ चीजें धुंधली, संभाव्यता आधारित और समय में विचित्र रूप से प्रतिवर्ती (reversible) होती हैं; यदि आप दो क्वांटम कणों की परस्पर क्रिया का वीडियो पीछे की ओर चलाएं, तो भी भौतिकी तर्कसंगली रहेगी। फिर भी, जब हम रोजमर्रा की वस्तुओं की दुनिया की ओर ज़ूम आउट करते हैं, तो हम एक अलग वास्तविकता देखते हैं जो शास्त्रीय यांत्रिकी (क्लासिकल मैकेनिक्स) द्वारा शासित होती है, जहाँ चीजों की निश्चित स्थिति और गति होती है, और समय केवल आगे की ओर बढ़ता है। भौतिकविदों के लिए बड़ी चुनौती इस अंतर को पाटना रहा है: यह दिखाना कि हमारे स्थूल (मैक्रोस्कोपिक) जगत में समय का अपरिवर्तनीय, एकतरफा प्रवाह, क्वांटम दुनिया के प्रतिवर्ती, समय-सममित नियमों से कैसे उभरता है। यह प्रश्न समझने के लिए केंद्रीय है कि ऊष्मा कैसे चलती है, गैसें कैसे फैलती हैं, और ऊर्जा कैसे नष्ट होती है, जो सभी एक प्रसिद्ध सूत्र द्वारा वर्णित हैं जिसे बोल्ट्ज़मैन समीकरण के रूप में जाना जाता है।

द दशकों से, वैज्ञानिकों ने प्रथम सिद्धांतों से इस समीकरण को व्युत्पन्न करने का प्रयास किया है, लेकिन वे एक दीवार से टकरा गए हैं। मानक दृष्टिकोण कणों की सुचारू, धीमी गतिविधियों (जो ऊष्मा के प्रवाह और बल का निर्माण करती हैं) और उनके बीच अचानक, तीव्र झटकों (जो टकराव और घर्षण पैदा करते हैं) को दो पूरी तरह से अलग समस्याओं के रूप में मानता है। एक विधि सुचारू गति की व्याख्या करती है, जबकि एक दूसरी, असंबंधित विधि टकरावों की व्याख्या करती है। इस विभाजन ने हमारी समझ में एक अंतराल छोड़ दिया है, विशेष रूप से इस संबंध में कि समय की एक दिशा क्यों प्रतीत होती है। सेंट पीटर्सबर्ग के इओफ़ इंस्टीट्यूट (Ioffe Institute) के एक शोधकर्ता ने अब इस समस्या को देखने का एक नया तरीका प्रस्तावित किया है, जिसमें सुझाव दिया गया है कि समाधान अंतःक्रिया के विभिन्न पैमानों को एक एकल, एकीकृत ढांचे के भीतर अलग करने में निहित है।

शोधकर्ता, ए. पी. मेइलाख्स (A. P. Meilakhs), सिग्नल प्रोसेसिंग से लिया गया एक तकनीक पेश करते हैं, जो एक ऐसा क्षेत्र है जो ध्वनि तरंगों और छवियों का विश्लेषण करने से संबंधित है। उस क्षेत्र में, 'वेवलेट ट्रांसफॉर्म' नामक एक उपकरण का उपयोग जटिल सिग्नल को उनके परिवर्तन की गति के आधार पर विभिन्न भागों में तोड़ने के लिए किया जाता है। मेइलाख्स इसी तर्क को श्रोडिंगर समीकरण (Schrödinger equation) पर लागू करते हैं, जो क्वांटम कणों को नियंत्रित करने वाला मौलिक समीकरण है। एक कण के चारों ओर के संपूर्ण संभावित ऊर्जा क्षेत्र (potential energy field) को एक एकल, समान वस्तु मानने के बजाय, यह विधि इसे स्थान के संदर्भ में क्षेत्र कितनी तेजी से बदलता है, इसके आधार पर दो विशिष्ट श्रेणियों में विभाजित करती है। एक श्रेणी उन क्षेत्रों की है जो बहुत धीरे और सुचारू रूप से बदलते हैं, जैसे कि एक मंद ढलान। दूसरी श्रेणी उन क्षेत्रों की है जो बहुत तीखे और अचानक बदलते हैं, जैसे कि एक अचानक आई चट्टान या एक छोटा, तीव्र उभार।

इस पृथक्करण का उपयोग करके, शोधकर्ता प्रदर्शित करते हैं कि ये दो प्रकार के क्षेत्र क्वांटम प्रणाली में दो पूरी तरह से अलग व्यवहार उत्पन्न करते हैं, जो स्वाभाविक रूप से बोल्ट्ज़मैन समीकरण के दो अलग-अलग भागों की ओर ले जाते है। जब कण धीमे, सुचारू क्षेत्रों के साथ अंतःक्रिया करता है, तो गणित दर्शाता है कि प्रणाली बिल्कुल एक शास्त्रीय कण की तरह व्यवहार करती है जो एक अनुमानित पथ पर चलता है। यह व्युत्पत्ति लियुविल समीकरण (Liouville equation) को पुनः प्राप्त करती है, जो यह वर्णन करता है कि कणों का एक समूह सूचना खोए बिना या घर्षण पैदा किए बिना अंतरिक्ष और समय के माध्यम से कैसे प्रवाहित होता है। यह एक प्रतिवर्ती प्रक्रिया है, जैसे कि एक घर्षण रहित पेंडुलम का आगे-पीछे झूलना। यह बोल्ट्ज़मैन समीकरण के "बल" (force) और "विसरण" (diffusion) पदों की व्याख्या करता है, जो यह बताते हैं कि कण बाहरी क्षेत्रों या सांद्रता प्रवणता (concentration gradients) के प्रभाव में कैसे चलते हैं।

इसके विपरीत, जब कण तीखे, तेजी से बदलते क्षेत्रों के साथ अंततः क्रिया करता है, तो व्यवहार पूरी तरह से अलग होता है। यहाँ, प्रणाली एक सुचारू पथ का अनुसरण नहीं करती है। इसके बजाय, यह अंतःक्रिया कण को विभिन्न अवस्थाओं के बीच कूदने के लिए प्रेरित करती है, जिसे संभावनाओं और संक्रमण दरों (transition rates) द्वारा सबसे अच्छी तरह वर्णित किया जा सकता है। यह 'क्वांटम जंप' का क्षेत्र है। शोधकर्ता दिखाते हैं कि जब आप उसी वेवलेट पद्धति का उपयोग करके इन तीखे अंतःक्रियाओं का विश्लेषण करते हैं, तो गणित स्वाभाविक रूप से एक "कोलिजन इंटीग्रल" (collision integral) उत्पन्न करता है। यह बोल्ट्ज़मैन समीकरण का वह भाग है जो यह बताता है कि कण आपस में टकराते हैं, बिखरते हैं और ऊर्जा का आदान-प्रदान करते हैं। महत्वपूर्ण रूप से, इस प्रक्रिया का यह हिस्सा अपरिवर्तनीय है। शोधकर्ता का तर्क है कि यह अपरिवर्तनीयता इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि तीखी अंतःक्रियाएं क्वांटम तरंग के विभिन्न हिस्सों के बीच तालमेल (synchronization) को बिगाड़ देती है, जिसे 'नॉन-कोहेरेंस' (non-coherence) नामक अवस्था कहा जाता है। एक बार जब यह सामंजस्य खो जाता है, तो प्रणाली को बस पीछे की ओर नहीं चलाया जा सकता, और समय अपना तीर (direction) प्राप्त कर लेता है।

इस कार्य का महत्व यह है कि यह इन दो परस्पर विरोधी व्यवहारों को श्रोडिंगर समीकरण से एक ही व्युत्पत्ति में एकीकृत करता है। पहले, भौतिकविदों को सुचारू गति समझाने के लिए एक सेट उपकरणों का उपयोग करना पड़ता था और टकरावों को समझाने के लिए पूरी तरह से अलग सेट का, जिससे अक्सर भ्रम की स्थिति बनी रहती थी। मेइलाख्स दिखाते हैं कि अंतर कणों की प्रकृति या उनके द्वारा पालन किए जाने वाले नियमों में नहीं है, बल्कि उनके द्वारा अनुभव किए जाने वाले अंतःक्रिया के पैमाने में है। सुचारू, लंबी-तरंग दैर्ध्य वाले विभव (potentials) प्रतिवर्ती, शास्त्रीय-समान गति की ओर ले जाते हैं, जबकि लघु-तरंग दैर्ध्य, तीखे विभव अपरिवर्तनीय, टकराव वाले व्यवहार की ओर ले जाते हैं।

यह दृष्टिकोण इस लंबे समय से चले आ रहे पहेली पर भी एक नया दृष्टिकोण प्रदान करता है कि बोल्ट्ज़मैन समीकरण अपरिवर्तनीय क्यों है जबकि अंतर्निहित क्वांटम नियम नहीं हैं। शोध पत्र सुझाव देता है कि अपरिवर्तनीयता वेव फंक्शन के किसी रहस्यमय पतन (collapse) या किसी बाहरी प्रेक्षक से नहीं आती है, बल्कि इस बात से आती है कि सिस्टम तीखे विभवों के साथ कैसे अंतःक्रिया करता है। जब सिस्टम इन तीखे फीचर्स के साथ अंतःक्रिया करता है, तो कण द्वारा लिए जाने वाले विभिन्न संभावित पथ एक दूसरे के साथ इस तरह हस्तक्षेप करते हैं कि वे प्रतिवर्तीता के लिए आवश्यक नाजुक चरण संबंधों (phase relationships) को नष्ट कर देते हैं। परिणाम एक सांख्यिकीय विवरण है जहाँ सिस्टम संतुलन की ओर बढ़ता है, जैसा कि हम वास्तविक दुनिया में देखते हैं।

यह व्युत्पत्ति फर्मियन्स (fermions), जो इलेक्ट्रॉन जैसे कण हैं जो एक ही अवस्था को नहीं घेर सकते, और बोसॉन्स (bosons), जो फोटॉन जैसे कण हैं जो एक ही अवस्था में जमा हो सकते हैं, दोनों को कवर करती है। गणित दोनों के लिए सटीक है, यह दर्शाता है कि क्वांटम नियमों से शास्त्रीय बोल्ट्ज़मैन समीकरण तक का संक्रमण प्रकृति की एक सुदृढ़ विशेषता है जो इस बात पर लागू होती है कि शामिल कण का प्रकार कोई भी हो। हालांकि यह पत्र स्वीकार करता है कि विभव को "सुचारू" और "तीखे" भागों में पूर्णतः कठोर गणितीय पृथक्करण भविष्य के कार्य के लिए एक चुनौती बना हुआ है, लेकिन यह जो भौतिक चित्र प्रस्तुत करता है वह स्पष्ट है। यह सुझाव देता है कि शास्त्रीय दुनिया जिसे हम अनुभव करते हैं, वह वास्तविकता की एक अलग परत नहीं है, बल्कि यह इस बात का परिणाम है कि क्वांटम प्रणालियाँ बल के विभिन्न पैमानों के प्रति कैसे प्रतिक्रिया करती हैं।

अंततः, यह शोध इस बारे में अधिक पूर्ण और सुसंगत कहानी प्रदान करता है कि सूक्ष्म जगत से स्थूल जगत कैसे उभरता है। यह प्रतिवर्ती क्वांटम यांत्रिकी और अपरिवर्तनीय ऊष्मागतिकी (thermodynamics) के बीच के तनाव को यह दिखाकर हल करता है कि वे वास्तव में एक ही अंतर्निहित सिद्धांत के दो अलग-अलग रूप हैं। अंतःक्रिया के पैमानों को अलग करके, शोधकर्ता ने दिखाया है कि सुचारू शास्त्रीय यांत्रिकी का प्रवाह और सांख्यिकीय यांत्रिकी के अराजक टकराव विरोधाभासी नहीं हैं, बल्कि एक ही सिक्के के दो पहलू हैं, जो केवल तभी प्रकट होते हैं जब हम क्वांटम दुनिया को सही लेंस से देखते हैं। यह कार्य केवल समीकरणों के अंतराल को नहीं भरता है; यह एक गहरा समझ प्रदान करता है कि ब्रह्मांड कैसे व्यवहार करता है, गैस के अणु की मंद गति से लेकर एक तारे में कणों के हिंसक टकराव तक।