Using the wavelet transform to separate scales in the Schrödinger equation and subsequently derive the Boltzmann equation

In het uitgestrekte landschap van de natuurkunde bestaat er een fundamentele kloof tussen hoe het universum zich gedraagt wanneer we ernaar kijken met een microscoop en hoe het zich gedraagt wanneer we het bekijken met het blote oog. Op de kleinste schalen worden deeltjes zoals elektronen beschreven door de kwantummechanica, een rijk waar dingen vaag, probabilistisch en vreemd genoeg tijdreversibel zijn; als je een film van twee interagerende kwantumdeeltjes achterstevoren zou afspelen, zou de fysica nog steeds kloppen. Toch, wanneer we uitzoomen naar de wereld van alledaagse objecten, zien we een andere realiteit die wordt beheerst door de klassieke mechanica, waarin dingen een definitieve positie en snelheid hebben, en tijd alleen vooruit beweegt. De grote uitdaging voor natuurkundigen is geweest om deze kloof te overbruggen: om aan te tonen hoe de irreversibele, eenrichtingsverkeer van de tijd in onze macroscopische wereld voortkomt uit de reversibele, tijdsymmetrische wetten van de kwantumwereld. Deze vraag staat centraal bij het begrijpen van hoe warmte beweegt, hoe gassen uitzetten en hoe energie dissipeert, zaken die allemaal worden beschreven door een beroemde formule bekend als de Boltzmann-vergelijking.

Decennialang hebben wetenschappers geprobeerd deze vergelijking af te leiden vanuit eerste beginselen, maar ze liepen tegen een muur aan. De standaardbenadering behandelt de vloeiende, langzame bewegingen van deeltjes (die de stroom van warmte en kracht creëren) en de plotselinge, scherpe schokken tussen hen (die botsingen en wrijving creëren) als twee volledig gescheiden problemen. Eén methode verklaart de vloeiende beweging, terwijl een andere, ongerelateerde methode de botsingen verklaart. Deze splitsing heeft een gat achtergelaten in ons begrip, met name met betrekking tot de vraag waarom de tijd een richting lijkt te hebben. Een onderzoeker aan het Ioffe Instituut in Sint-Petersburg heeft nu een nieuwe manier voorgesteld om naar dit probleem te kijken, waarbij hij suggereert dat de oplossing ligt in de manier waarop we de verschillende schalen van interactie binnen één enkel, verenigd kader scheiden.

De onderzoeker, A. P. Meilakhs, introduceert een techniek geleend uit de signaalverwerking, een vakgebied dat zich bezighoudt met het analyseren van geluidsgolven en afbeeldingen. In dat vakgebied wordt een hulpmiddel genaamd de wavelettransformatie gebruikt om een complex signaal op te splitsen in zijn verschillende delen op basis van hoe snel ze veranderen. Meilakhs past dezezelfde logica toe op de Schrödinger-vergelijking, de fundamentele vergelijking die kwantumdeeltjes beheerst. In plaats van het gehele potentiaalveld rond een deeltje als één enkel, uniform ding te behandelen, splitst de methode het veld op in twee verschillende categorieën op basis van hoe snel het veld verandert over de ruimte. Eén categorie bestaat uit velden die zeer langzaam en vloeiend veranderen, zoals een zachte helling. De andere categorie bestaat uit velden die zeer scherp en abrupt veranderen, zoals een plotselinge klif of een kleine, intense bult.

Door het gebruik van deze scheiding laat de onderzoeker zien dat deze twee soorten velden twee volkomen verschillende gedragingen in het kwantumsysteem produceren, wat van nature leidt tot de twee verschillende delen van de Boltzmann-vergelijking. Wanneer het deeltje interageert met de langzame, vloeiende velden, laat de wiskunde zien dat het systeem zich exact gedraagt als een klassiek deeltje dat zich langs een voorspelbaar pad beweegt. Dit deel van de afleiding herstelt de Liouville-vergelijking, die beschrijft hoe een verzameling deeltjes door de ruimte en de tijd stroomt zonder informatie te verliezen of wrijving te creëren. Dit is een reversibel proces, vergelijkbaar met een wrijvingsloze slinger die heen en weer zwaait. Dit verklaart de "kracht"- en "diffusie"-termen in de Boltzmann-vergelijking, die verklaren hoe deeltjes bewegen onder invloed van externe velden of concentratiegradiënten.

In schril contrast hiermee staat het feit dat wanneer het deeltje interageert met de scherpe, snel veranderende velden, het gedrag geheel anders is. Hier volgt het systeem geen vloeiend pad. In plaats daarvan zorgt de interactie ervoor dat het deeltje tussen verschillende toestanden springt op een manier die het best kan worden beschreven door waarschijnlijkheden en overgangssnelheden. Dit is het domein van kwantumsprongen. De onderzoeker laat zien dat wanneer je deze scherpe interacties analyseert met dezelfde waveletmethode, de wiskunde van nature een "botsingsintegraal" produceert. Dit is het deel van de Boltzmann-vergelijking dat rekening houdt met deeltjes die tegen elkaar botsen, verstrooien en energie uitwisselen. Cruciaal is dat dit deel van het proces irreversibel is. De onderzoeker voert aan dat deze irreversibiliteit voortkomt uit het feit dat de scherpe interacties ervoor zorgen dat de verschillende delen van de kwantumgolf hun synchronisatie verliezen, een toestand die bekend staat als decoherentie. Zodra deze coherentie verloren gaat, kan het systeem niet simpelweg achteruit draaien, en krijgt de tijd een pijl.

De betekenis van dit werk is dat het deze twee schijnbaar tegenstrijdige gedragingen verenigt in één enkele afleiding uit de Schrödinger-vergelijking. Voorheen moesten natuurkundigen een andere set instrumenten gebruiken om de vloeiende beweging te verklaren en een volkomen andere set instrumenten om de botsingen te verklaren, wat vaak leidde tot verwarring over hoe deze in elkaar pasten. Meilakhs laat zien dat het verschil niet ligt in de aard van de deeltjes of de wetten die zij volgen, maar in de schaal van de interactie die zij ervaren. De vloeiende, langgolvige potentialen leiden tot de reversibele, klassiek-achtige beweging, terwijl de kortgolvige, scherpe potentialen leiden tot het irreversibele, collisionele gedrag.

Deze benadering biedt ook een fris perspectief op het langlopende raadsel waarom de Boltzmann-vergelijking irreversibel is terwijl de onderliggende kwantumwetten dat niet zijn. Het artikel suggereert dat de irreversibiliteit niet voortkomt uit een mysterieus instorting van de golffunctie of een externe waarnemer, maar uit de specifieke manier waarop het systeem met scherpe potentialen interageert. Wanneer het systeem met deze scherpe kenmerken interageert, interfereren de verschillende mogelijke paden die het deeltje zou kunnen nemen met elkaar op een manier die de delicate fase-relaties die nodig zijn voor reversibiliteit vernietigt. Het resultaat is een statistische beschrijving waarbij het systeem naar evenwicht beweegt, precies zoals we dat in de echte wereld waarnemen.

De afleiding behandelt zowel fermionen, die deeltjes zoals elektronen die niet dezelfde toestand kunnen bezetten, als bosonen, die deeltjes zoals fotonen die in dezelfde toestand kunnen stapelen. De wiskunde klopt voor beide, wat aantoont dat de overgang van kwantumregels naar de klassieke Boltzmann-vergelijking een robuust kenmerk van de natuur is dat onafhankelijk is van het specifieke type deeltje dat betrokken is. Hoewel het artikel erkent dat een volledig rigoureuze wiskundige scheiding van de potentiaal in "vloeiende" en "scherpe" delen een uitdaging blijft voor toekomstig werk, is het fysieke beeld dat het schetst helder. Het suggereert dat de klassieke wereld die wij ervaren niet een aparte laag van de werkelijkheid is, maar het resultaat van hoe kwantumsystemen reageren op verschillende schalen van kracht.

Uiteindelijk biedt dit onderzoek een completer en coherenter verhaal over hoe de macroscopische wereld voortkomt uit de microscopische wereld. Het lost de spanning op tussen de reversibele aard van de kwantummechanica en de irreversibele aard van de thermodynamica door aan te tonen dat dit simpelweg twee verschillende limieten zijn van dezelfde onderliggende theorie. Door de schalen van interactie te scheiden, heeft de onderzoeker aangetoond dat de vloeiende stroom van de klassieke mechanica en de chaotische botsingen van de statistische mechanica niet tegenstrijdig zijn, maar in plaats daarvan twee zijden van dezelfde munt zijn, die pas zichtbaar worden wanneer we naar de kwantumwereld kijken door de juiste lens. Dit werk vult niet alleen een gat in de vergelijkingen; het biedt een dieper begrip van waarom het universum zich zo gedraagt als het doet, van de zachte drift van een gasmolecuul tot de gewelddadige botsing van deeltjes in een ster.