Using the wavelet transform to separate scales in the Schrödinger equation and subsequently derive the Boltzmann equation

Dans le vaste paysage de la physique, il existe une division fondamentale entre la manière dont l'univers se comporte lorsque nous l'observons avec un microscope et la manière dont il se comporte lorsque nous l'observons à l'œil nu. Aux échelles les plus petites, les particules comme les électrons sont décrites par la mécanique quantique, un royaume où les choses sont floues, probabilistes et étrangement réversibles dans le temps ; si vous passiez un film de deux particules quantiques interagissant à l'envers, la physique ferait toujours sens. Pourtant, lorsque nous zoomons sur le monde des objets du quotidien, nous voyons une réalité différente régie par la mécanique classique, où les choses ont des positions et des vitesses définies, et où le temps ne s'écoule que vers l'avant. Le grand défi pour les physiciens a été de combler ce fossé : démontrer exactement comment le flux de temps irréversible et unidirectionnel de notre monde macroscopique émerge des lois quantiques réversibles et symétriques par rapport au temps. Cette question est centrale pour comprendre comment la chaleur se déplace, comment les gaz se dilatent et comment l'énergie se dissipe, autant de phénomènes décrits par une célèbre formule connue sous le nom d'équation de Boltzmann.

Pendant des décennies, les scientifiques ont tenté de dériver cette équation à partir de principes fondamentaux, mais ils se sont heurtés à un mur. L'approche standard traite les mouvements fluides et lents des particules (qui créent le flux de chaleur et de force) et les chocs soudains et brusques entre elles (qui créent les collisions et la friction) comme deux problèmes complètement distincts. Une méthode explique le mouvement fluide, tandis qu'une autre méthode, sans rapport, explique les collisions. Cette séparation a laissé un vide dans notre compréhension, particulièrement concernant la raison pour laquelle le temps semble avoir une direction. Un chercheur de l'Institut Ioffe de Saint-Pétersbourg a maintenant proposé une nouvelle façon d'aborder ce problème, suggérant que la solution réside dans la manière dont nous séparons les différentes échelles d'interaction au sein d'un cadre unique et unifié.

Le chercheur, A. P. Meilakhs, introduit une technique empruntée au traitement du signal, un domaine qui traite l'analyse des ondes sonores et des images. Dans ce domaine, un outil appelé transformée en ondelettes est utilisé pour décomposer un signal complexe en ses différentes parties selon la rapidité avec laquelle elles changent. Meilakhs applique cette même logique à l'équation de Schrödinger, l'équation fondamentale qui régit les particules quantiques. Au lieu de traiter l'ensemble du champ d'énergie potentielle autour d'une particule comme une chose unique et uniforme, la méthode sépare ce champ en deux catégories distinctes basées sur la rapidité avec laquelle le champ change dans l'espace. Une catégorie consiste en des champs qui changent très lentement et de manière fluide, comme une pente douce. L'autre catégorie consiste en des champs qui changent de manière très brusque et abrupte, comme une falaise soudaine ou une petite bosse intense.

En utilisant cette séparation, le chercheur démontre que ces deux types de champs produisent deux comportements complètement différents dans le système quantique, ce qui mène naturellement aux deux parties de l'équation de Boltzmann. Lorsque la particule interagit avec les champs lents et lisses, les mathématiques montrent que le système se comporte exactement comme une particule classique se déplaçant selon une trajectoire prévisible. Cette partie de la dérivation récupère l'équation de Liouville, qui décrit comment une collection de particules circule à travers l'espace et le temps sans perdre d'information ni créer de friction. C'est un processus réversible, semblable à un pendule sans friction oscillant d'avant en arrière. Cela explique les termes de « force » et de « diffusion » de l'équation de Boltzmann, qui rendent compte de la manière dont les particules se déplacent sous l'influence de champs externes ou de gradients de concentration.

En revanche, lorsque la particule interagit avec les champs brusques et changeant rapidement, le comportement est totalement différent. Ici, le système ne suit pas un chemin fluide. Au lieu de cela, l'interaction provoque des sauts de la particule entre différents états, ce qui est mieux décrit par des probabilités et des taux de transition. C'est le domaine des sauts quantiques. Le chercheur montre que lorsque vous analysez ces interactions brusques en utilisant la même méthode d'ondelettes, les mathématiques produisent naturellement une « intégrale de collision ». C'est la partie de l'équation de Boltzmann qui rend compte des particules qui s'entrechoquent, se diffusent et échangent de l'énergie. Crucialement, cette partie du processus est irréversible. Le chercheur soutient que cette irréversibilité provient du fait que les interactions brusques provoquent la perte de synchronisation des différentes parties de l'onde quantique, un état connu sous le nom de non-cohérence. Une fois cette cohérence perdue, le système ne peut pas simplement repartir en arrière, et le temps acquiert une flèche.

La portée de ce travail est qu'il unifie ces deux comportements apparemment contradictoires en une seule dérivation issue de l'équation de Schrödinger. Auparavant, les physiciens devaient utiliser un ensemble d'outils pour expliquer le mouvement fluide et un ensemble d'outils complètement différent pour expliquer les collisions, ce qui menait souvent à la confusion sur la manière dont les deux s'articulent. Meilakhs montre que la différence ne réside pas dans la nature des particules ou les lois qu'elles suivent, mais dans l'échelle de l'interaction qu'elles expérimentent. Les potentiels lisses et à longues longueurs d'onde mènent au mouvement classique réversible, tandis que les potentiels courts, brusques et à courtes longueurs d'onde mènent au comportement collisionnel irréversible.

Cette approche offre également une perspective nouvelle sur le puzzle de longue date concernant la raison pour laquelle l'équation de Boltzmann est irréversible alors que les lois quantiques sous-jacentes ne le sont pas. L'article suggère que l'irréversibilité ne provient pas d'un effondrement mystérieux de la fonction d'onde ou d'un observateur externe, mais de la manière spécifique dont le système interagit avec les potentiels brusques. Lorsque le système interagit avec ces caractéristiques abruptes, les différents chemins possibles que la particule pourrait prendre interfèrent entre eux d'une manière qui détruit les relations de phase délicates requises pour la réversibilité. Le résultat est une description statistique où le système tend vers l'équilibre, tout comme nous l'observons dans le monde réel.

La dérivation couvre à la fois les fermions, qui sont des particules comme les électrons qui ne peuvent occuper le même état, et les bosons, qui sont des particules comme les photons qui peuvent s'accumuler dans le même état. Les mathématiques tiennent bon pour les deux, montrant que la transition des règles quantiques à l'équation de Boltzmann classique est une caractéristique robuste de la nature qui s'applique indépendamment du type spécifique de particule impliquée. Bien que l'article admette qu'une séparation mathématique pleinement rigoureuse du potentiel en parties « lisses » et « brusques » reste un défi pour des travaux futurs, le tableau physique qu'il brosse est clair. Il suggère que le monde classique que nous expérimentons n'est pas une couche séparée de la réalité, mais plutôt le résultat de la manière dont les systèmes quantiques répondent à différentes échelles de force.

En fin de compte, cette recherche fournit un récit plus complet et cohérent de la manière dont le monde macroscopique émerge du monde microscopique. Elle résout la tension entre la nature réversible de la mécanique quantique et la nature irréversible de la thermodynamique en montrant qu'elles sont simplement deux limites différentes d'une même théorie sous-jacente. En séparant les échelles d'interaction, le chercheur a montré que le flux fluide de la mécanique classique et les collisions chaotiques de la mécanique statistique ne sont pas contradictoires, mais sont au contraire les deux faces d'une même pièce, révélées seulement lorsque nous regardons le monde quantique à travers le bon prisme. Ce travail ne se contente pas de combler un vide dans les équations ; il offre une compréhension plus profonde de la raison pour laquelle l'univers se comporte comme il le fait, de la dérive douce d'une molécule de gaz à la collision violente de particules dans une étoile.