Dynamics of dispersion of coaxial SH-waves in a pre-stressed piezo cylindrical column, with ideal and non-ideal coatings of epoxy graphite, zinc and isotropic layers

ملخص تقني: ديناميكيات تشتت موجات SH المحورية في عمود أسطواني كهرضغطِي مُجهد مسبقاً

بيان المشكلة
تتقصى هذه الدراسة ديناميكيات انتشار موجات القص الأفقي (SH) المحيطية داخل عمود أسطواني مركب. يتكون الهيكل من قلب كهرضغطِي (piezoelectric) مُجهد مسبقاً محاط بطبقة طلاء. تعالج هذه البحث خصائص تشتت الموجات تحت حالتين مختلفتين للواجهة: واجهة مترابطة تماماً وواجهة غير مثالية (غير مثالية الترابط). ولضمان القابلية للتطبيق العملي وتعدد استخدامات المواد، تم نمذجة طبقة الطلاء باستخدام ثلاثة فئات مختلفة من المواد: الجرافيت الإيبوكسي (متعامد الخواص/orthotropic)، والزنك (متماثل المناحي عرضياً/transversely isotropic)، والمواد متماثلة المناحي (isotropic). كما يأخذ النموذج في الاعتبار صراحةً الاقتران الكهروميكانيكي، وتباين خواص المواد، ووجود إجهاد أولي داخل الوسط الكهرضغطِي.

المنهجية
يستخدم الصياغة الرياضية نظام إحداثيات أسطواني $(r, \Theta, z)$ لوصف الهندسة. يُفترض في حقل الإزاحة أن يتضمن فقط تشوه القص المحوري ($u_z$)، مع ضبط الإزاحات القطرية والمحيطية لتكون صفراً، بما يتفق مع انتشار موجات SH.

1. المعادلات الحاكمة: تم اشتقاق معادلات الحركة بناءً على نظرية بيوت (Biot's theory) للأجسام المرنة المُجهدة مسبقاً وعلاقات التكوين للوسائط الكهرضغطية. بالنسبة للقلب الكهرضغطِي، يحكم الاقتران الكهروميكانيكي قانون هوك الممتد بثوابت الكهرضغطية والكهربائية. كما تم إدخال دالة مساعدة لفك الارتباط بين الإزاحة الميكانيكية وجهد الكهرباء.
2. الحل التحليلي: تُطبق طريقة فصل المتغيرات على المعادلات التفاضلية الحاكمة. ينتج عن ذلك حلول في شكل دوال بسل من النوع الأول والثاني ($J_\nu$ و $Y_\nu$) للإزاحة الميكانيكية، وحلول كوشي-أويلر (Cauchy–Euler) للوظيفة المساعدة لجهد الكهرباء.
3. شروط الحدود والواجهة:
   • الواجهة المثالية: تفترض استمرارية الإزاحة والإجهاد عبر الواجهة.
   • الواجهة غير المثالية: يتم نمذجتها باستخدام شرط واجهة يشبه النابض، حيث يكون إجهاد القص عند الواجهة متناسباً مع عدم استمرارية الإزاحة، ويحكمه عامل صلابة الواجهة ($\beta_{ij}$).
   • السطح الحر: يكون السطح الخارجي للطلاء خالياً من الإجهاد، بينما يتم تأريض جهد الكهرباء للقلب الداخلي.
4. معادلة التردد: من خلال تطبيق شروط الحدود والواجهة على الحلول العامة، يتم تكوين نظام من المعادلات الجبرية. تُشتق معادلة التشتت عن طريق جعل محدد مصفوفة المعاملات مساوياً للصفر، مما يسمح بحساب سرعات الطور.

المساهمات والنتائج الرئيسية
تقدم الدراسة تحليلاً عددياً لكيفية تأثير المعاملات اللابعدية المختلفة على سرعة الطور ($c/c_1$) لموجات SH. وتشمل النتائج الرئيسية ما يلي:

• سلوك التشتت: لجميع نماذج المواد وشروط الواجهة، تنخفض سرعة الطور مع زيادة عدد الموجة، مما يؤكد الطبيعة التشتتية لموجات SH في هذا الهيكل المركب.
• تباين خواص المواد: يكشف التحليل المقارن أن طلاء الجرافيت الإيبوكسي (متعامد الخواص) يعطي أعلى سرعة طور، يليه طلاء الزنك (متماثل المناحي عرضياً)، بينما يظهر الطلاء متماثل المناحي أدنى سرعة. يسلط هذا الضال الضوء على الدور الهام لتباين خواص المادة في سرعة انتشار الموجة.
• شروط الواجهة: تؤدي الواجهات المترابطة تماماً باستمرار إلى سرعات طور أعلى مقارنة بالواجهات غير المثالية. ويعزى ذلك إلى الاستمرارية الأفضل للإزاحة والإجهاد عند الواجهة في سيناريو الترابط المثالي.
  p* حساسية المعاملات:
  • ثابت الكهرضغطية ($e_{15}^{II}$): تؤدي زيادة ثابت الكهرضغطية عموماً إلى زيادة سرعة الطور بسبب تعزيز الاقتران الكهروميكانيكي، مما يزيد من صلابة الوسط فعلياً.
  • الإجهاد الأولي ($P^{II}$): يزيد الإجهاد الأولي المرتفع من الصلابة الفعالة للوسط، مما يؤدي إلى زيادة سرعة الطور.
  • ثابت العزل الكهربائي ($\varepsilon_{11}^{II}$): تؤدي زيادة ثابت العزل الكهربائي إلى خفض سرعة الطور. ويُعزى ذلك إلى زيادة قدرة تخزين الطاقة للمجال الكهربائي، مما يقلل من قوة الاقتران الكهروميكانيكي.
  • نسبة نصف القطر ($b/a$): تؤدي زيادة نسبة نصف القطر (التي تشير إلى سمك طبقة الطلاء بالنسبة للقلب) إلى انخفاض سرعة الطور، ويرجع ذلك على الأرجح إلى انخفاض الصلابة الفعالة في الطبقة الأكثر سمكاً.

الأهمية والادعاءات
يزعم البحث أن النموذج التحليلي المطور ومعادلات التشتت الناتجة توفر إطاراً صارماً لفهم انتشار الموجات في الهياكل الأسطوانية الكهرضغطية المُجهدة مسبقاً ذات شروط الواجهة المعقدة. وتؤكد الدراسة أن تضمين الواجهات غير المثالية والإجهاد الأولي يوفر تمثيلاً أكثر واقعية للأنظمة الفيزيائية مقارنة بالنماذج المثالية.

ويذكر المؤلفون أن هذه النتائج يمكن أن تعمل كدليل مفيد لتصميم وتحسين تقنيات متنوعة، بما في ذلك الموجات الكهرضغطية، وأجهزة الاستشعار والمشغلات فوق الصوتية، وأجهزة الموجات الصوتية السطحية (SAW) والموجات الصوتية الحجمية (BAW)، وأنظمة مراقبة الحالة الهيكلية (SHM)، وتقنيات التقييم غير التدميري (NDE)، وأنظمة التحكم في الاهتزاز، وأنظمة حصاد الطاقة. علاوة على ذلك، فإن النتائج ذات صلة بمركبات الطيران والسيارات حيث تكون النمذجة الدقيقة لانتشار الموجات أمراً بالغ الأهمية. وتتحقق الدراسة من صحة معادلة التردد الخاصة بها من خلال إظهار مطابقتها للعمل السابق لـ "لي ووانغ" [14] عند إزالة الإجهاد الأولي، مما يضمن موثوقية النموذج الرياضي المستمد.