Dynamics of dispersion of coaxial SH-waves in a pre-stressed piezo cylindrical column, with ideal and non-ideal coatings of epoxy graphite, zinc and isotropic layers

Resumen Técnico: Dinámica de la Dispersión de Ondas SH Coaxiales en una Columna Cilíndrica Piezoeléctrica Preesforzada

Planteamiento del Problema
Este estudio investiga la dinámica de propagación de las ondas de cizalladura horizontal (SH) circunferenciales dentro de una columna cilíndrica compuesta. La estructura consiste en un núcleo piezoeléctrico preesforzado rodeado por una capa de recubrimiento. La investigación aborda las características de dispersión de la onda bajo dos condiciones de interfaz distintas: perfectamente adherida e imperfectamente adherida (no ideal). Para asegurar la aplicabilidad práctica y la versatilidad de los materiales, la capa de recubrimiento se modela utilizando tres clases de materiales diferentes: grafito-epoxi (ortotrópico), zinc (transversalmente isotrópico) y materiales isotrópicos. El modelo contabiliza explícitamente el acoplamiento electromecánico, la anisotropía del material y la presencia de estrés inicial dentro del medio piezoeléctrico.

Metodología
La formulación matemática emplea un sistema de coordenadas cilíndricas $(r, \Theta, z)$ para describir la geometría. Se asume que el campo de desplazamiento involucra únicamente la deformación de cizalladura axial ($u_z$), con desplazamientos radiales y circunferenciales iguales a cero, lo cual es consistente con la propagación de ondas SH.

1. Ecuaciones de Gobierno: Las ecuaciones de movimiento se derivan basándose en la teoría de Biot para sólidos elásticos preesforzados y las relaciones constitutivas para medios piezoeléctricos. Para el núcleo piezoeléctrico, el acoplamiento electromecánico está gobernado por la ley de Hooke extendida con constantes piezoeléctricas y dieléctricas. Se introduce una función auxiliar para desacoplar las ecuaciones de desplazamiento mecánico y de potencial eléctrico.
2. Solución Analítica: Se aplica el método de separación de variables a las ecuaciones diferenciales de gobierno. Esto produce soluciones en términos de funciones de Bessel de primera y segunda clase ($J_\nu$ y $Y_\nu$) para el desplazamiento mecánico y soluciones de Cauchy–Euler para la función auxiliar del potencial eléctrico.
3. Condiciones de Contorno e Interfaz:
   • Interfaz Perfecta: Asume la continuidad del desplazamiento y el esfuerzo a través de la interfaz.
   • Interfaz Imperfecta: Modelada mediante una condición de interfaz tipo resorte donde el esfuerzo de cizalladura interfacial es proporcional a la discontinuidad del desplazamiento, gobernado por un factor de rigidez de la interfaz ($\beta_{ij}$).
   • Superficie Libre: La superficie exterior del recubrimiento está libre de esfuerzos, y el potencial eléctrico del núcleo interno está conectado a tierra.
4. Ecuación de Frecuencia: Mediante la aplicación de las condiciones de contorno e interfaz a las soluciones generales, se forma un sistema de ecuaciones algebraicas. La ecuación de dispersión se deriva igualando a cero el determinante de la matriz de coeficientes, lo que permite el cálculo de las velocidades de fase.

Contribuciones Clave y Resultados
El estudio proporciona un análisis numérico de cómo diversos parámetros adimensionales influyen en la velocidad de fase ($c/c_1$) de las ondas SH. Los hallazgos clave incluyen:

• Comportamiento de Dispersión: Para todos los modelos de materiales y condiciones de interfaz, la velocidad de fase disminuye a medida que aumenta el número de onda, confirmando la naturaleza dispersiva de las ondas SH en esta estructura compuesta.
• Anisotropía del Material: Un análisis comparativo revela que el recubrimiento de grafito-epoxi ortotrópico produce la velocidad de fase más alta, seguido por el recubrimiento de zinc transversalmente isotrópico, mientras que el recubrimiento isotrópico exhibe la velocidad más baja. Esto destaca el papel significativo de la anisotropía del material en la velocidad de propagación.
• Condiciones de Interfaz: Las interfaces perfectamente adheridas resultan consistentemente en velocidades de fase más altas en comparación con las interfaces imperfectas. Esto se atribuye a la mejor continuidad del desplazamiento y del esfuerzo en el escenario de adherencia perfecta.
• Sensibilidad de los Parámetros:
  • Constante Piezoeléctrica ($e_{15}^{II}$): Un aumento en la constante piezoeléctrica generalmente conduce a un aumento en la velocidad de fase debido a un mayor acoplamiento electromecánico, lo que efectivamente aumenta la rigidez del medio.
  • Estrés Inicial ($P^{II}$): Un mayor estrés inicial aumenta la rigidez efectiva del medio, lo que resulta en un aumento de la velocidad de fase.
  • Constante Dieléctrica ($\varepsilon_{11}^{II}$): Un aumento en la constante dieléctrica tiende a disminuir la velocidad de fase. Esto se atribuye a la mayor capacidad de almacenamiento de energía del campo eléctrico, lo que disminuye la fuerza del acoplamiento electromecánico.
  • Relación de Radios ($b/a$): Un aumento en la relación de radios (que indica una capa de recubrimiento más gruesa en relación con el núcleo) conduce a una disminución en la velocidad de fase, probablemente debido a la reducción de la rigidez efectiva en un recubrimiento más grueso.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo sostiene que el modelo analítico desarrollado y las ecuaciones de dispersión resultantes ofrecen un marco riguroso para comprender la propagación de ondas en estructuras cilíndricas piezoeléctricas preesforzadas con condiciones de interfaz complejas. El estudio enfatiza que la inclusión de interfaces imperfectas y el estrés inicial proporciona una representación más realista de los sistemas físicos en comparación con los modelos idealizados.

Los autores afirman que estos hallazgos pueden servir como una guía útil para el diseño y la optimación de diversas tecnologías, incluyendo guías de onda piezoeléctricas, sensores y actuadores ultrasónicos, dispositivos de Ondas Acústicas Superficiales (SAW) y de Ondas Acústicas Volumétricas (BAW), sistemas de Monitoreo de Salud Estructural (SHM), técnicas de Evaluación No Destructiva (NDE), sistemas de control de vibraciones y sistemas de recolección de energía. Además, los resultados son relevantes para los compuestos aeroespaciales y automotrices donde el modelado preciso de la propagación de ondas es crítico. El estudio valida su ecuación de frecuencia al mostrar que coincide con el trabajo previo de Li y Wang [14] cuando se elimina el estrés inicial, asegurando la fiabilidad del modelo matemático derivado.