A Deterministic Complete Graph Hill Cipher with Shift128 Residual Encryption for Universal Binary Files

ملخص تقني: تشفير هيل للرسم البياني الكامل الحتمي مع تشفير متبقي بنظام الإزاحة 128 للملفات الثنائية الشاملة

بيان المشكلة
تتطلب التوسعة السريعة لتبادل المعلومات الرقمية تقنيات تشفير قادرة على حماية البيانات الثنائية ذات التنسيقات التعسفية (مثل ملفات PDF، وZIP، والوسائط المتعددة) بأمان مع الحفاظ على الكفاءة الحسابية. تواجه مخططات "تشفير هيل" التقليدية، رغم أناقتها الرياضية، عقبتين عمليتين رئيسيتين:

1. صعوبة توليد المفتاح: إن توليد مصفوفات مفتاح قابلة للعكس بمقياس $m$ عملية غير فعالة حسابياً، وغالباً ما تتطلب عمليات تجربة وخطأ، خاصة للأبعاد الكبيرة.
2. التعامل مع أحجام الملفات التعسفية: نادراً ما تكون أطوال الملفات الثنائية من مضاعفات دقيقة لبعد المصفوفة. وتعتمد التنفيذات التقليدية على الحشو (Padding)، مما يزيد من متطلبات التخزين ويؤدي إلى ظهور عيوب هيكلية.

تركز معظم النهج الهجينة الحالية على أنواع بيانات محددة (الصور أو الفيديو) أو تعتمد على المصفوفات أحادية المقياس (unimodular matrices) والخرائط اللوجستية، مما يترك فجوة في تشفير الملفات الثنائية الشاملة باستخدام هياكل نظرية الرسم البياني ذات القابلية للعكس المضمونة تحليلياً.

المنهجية
تقترح الورقة إطار عمل CGHC-S128، وهو نظام تشفير هجين يدمج تشفير هيل للرسم البياني الكامل (CGHC) مع آلية تشفير متبقية بنظام الإزاحة 128 (Shift128). تعمل المنهجية مباشرة على تسلسلات البايت الثنائية دون الحاجة لتحويل تنسيق الملف.

1. توليد المفتاح الحتمي (تشفير هيل للرسم البياني الكامل):

   • يتم اشتقاق مفتاح التشفير من مصفوفة التجاور للرسم البياني الكامل $K_N$، والمعرفة بـ $A(K_N) = J - I$، حيث $J$ هي المصفوفة المكونة من الرقم واحد في جميع عناصرها، و$I$ هي مصفوفة الوحدة.
   • يتم تحديد بُعد المصفوفة $N$ ليكون $2n$ (عدداً زوجياً).
   • القابلية للعكس التحليلية: تم إثبات أن محدد هذه المصفوفة تحليلياً هو $\det(A(K_N)) = (-1)^{N-1}(N-1)$. وبما أن $N$ عدد زوجي، فإن $N-1$ عدد فردي. وبالتالي، فإن $\gcd(N-1, 256) = 1$، مما يضمن أن المصفوفة قابلة للعكس بمقياس 256 دون الحاجة لتوليد عشوائي أو تجربة وخطأ.

2. التقسيم والتشفير الهجين:

   • يتم تقسيم ملف النص الصريح إلى جزأين: $P_H$ (المعالجة بواسطة CGHC) و $P_S$ (المعالجة بواسطة Shift128).
   • الجزء الرئيسي: يتم تقسيم الملف إلى كتل بحجم $N$. تُعامل كل كتلة كمتجه ويتم تشفيرها عبر ضرب المصفوفات الموديلي (Modular Matrix Multiplication): $C_i = A(K_N) \times B_i \pmod{256}$.
   • الجزء المتبقي: أي بايتات متبقية لا تتناسب مع كتلة كاملة تتم معالجتها باستخدام تشفير الإزاحة 128: $c = (p + 128) \pmod{256}$.
   • هذا النهج يلغي الحاجة إلى الحشو، مما يحافظ على الحجم الدقيق للملف.

3. فك التشفير:

   • يتم حساب المصفوفة العكسية الموديلية $A^{-1}(K_N)$ لمرة واحدة باستخدام طريقة حذف غاوس-جوردان.
   • يتم استعادة كتل النص المشفر عبر $B_i = A^{-1}(K_N) \times C_i \pmod{256}$.
   • يتم استعادة البايتات المتبقية عبر $p = (c - 128) \pmod{256}$.
   • يتم دمج الأجزاء لإعادة بناء الملف الأصلي بدقة.

المساهمات الرئيسية

• بناء المفتاح الحتمي: قدمت الورقة طريقة لتوليد مفاتيح تشفير هيل باستخدام مصفوفات التجاور للرسوم البيانية الكاملة حيث تكون القابلية للعكس مضمونة رياضياً من خلال فردية البُعد، مما يزيل التكلفة الحسابية للبحث عن مفاتيح صالحة.
• دعم ثنائي شامل: يدعم إطار العمل تنسيقات الملفات الثنائية التعسفية من خلال العمل مباشرة على تدفقات البايت، متجنباً الحاجة إلى تحليل خاص بكل تنسيق.
• الحفاظ على حجم الملف الدقيق: من خلال استخدام خوارزمية الإزاحة 128 للبايتات المتبقية، يقوم النظام بتشفير الملفات من أي طول دون حشو، مما يضمن مطابقة حجم النص المشفر لحجم النص الصريح تماماً.
• البنية الهجينة: إن دمج تحويلات مصفوفة الرسم البياني للجزء الأكبر من البيانات مع تشفير إزاحة خفيف للجزء المتبقي يخلق بنية موحدة وخالية من الفقد (Lossless).

النتائج التجريبية
تم تقييم إطار العمل باستخدام مستندات PDF ذات أبعاد مصفوفة ($n$) متفاوتة ومعايير أمنية:

• الصحة: أدت جميع عمليات فك التشفير إلى إعادة بناء مثالية للملفات، وتم التحقق من ذلك عبر تطابق بنسبة 100% في قيم MD5 وSHA-256 بين الملفات الأصلية والمفككة.
• العشوائية الإحصائية:
  • الاعتلاج (Entropy): حقق النص المشفر اعتلاجاً قدره 7.999810، وهو يقترب من الحد النظري البالغ 8.0.
  • الارتباط: انخفض معامل الارتباط من 0.018530 (الأصلي) إلى -0.000795 (المشفر)، مما يشير إلى إزالة التبعيات الخطية.
  • اختبار مربع كاي (Chi-Square): انخفضت القيمة من 30,345.36 إلى 215.00، مع قيمة $p$ بلغت 0.967350، مما يؤكد التوزيع الموحد للبايتات.
• الانتشار والحساسية:
  • تأثير الانهيار (Avalanche Effect): تم قياسه عند 49.9241%، مما يشير إلى أن تغييراً في بت واحد من المدخلات يؤثر على نصف بتات المخرجات تقريباً.
  • معدل تغير البكسل (NPCR): بلغ 99.6061%، متجاوزاً العتبة المثالية البالغة 99%.
  • شدة التغير المتوسط الموحد (UACI): بلغ 33.6548%، وهو قريب من القيمة المثالية 33%.
  • حساسية المفتاح: بلغت 99.6114%، مما يثبت أن التغييرات الطفيفة في المفتاح تنتج نصوصاً مشفرة مختلفة تماماً.
• الأداء: يتناسب وقت التشفير خطياً مع حجم المصفوفة. ومع ذلك، يهيمن تعقيد $O(N^3)$ لعملية عكس المصفوفة الموديلية على وقت فك التشفير. وبينما يعد النظام فعالاً للأبعاد الصغيرة والمتوسطة (مثلاً $n=9$ إلى $99$)، فإن فك التشفير يصبح مكلفاً حسابياً للمصفوفات الكبيرة جداً (حيث استغرق$n=999$ حوالي 327 ثانية).

الأهمية والادعاءات
تدعي الورقة أن CGHC-S128 يوفر حلاً سليماً رياضياً وفعالاً حسابياً لتشفير الملفات الثنائية الشاملة. تكمن أهميته الأساسية في الجمع بين توليد المفتاح الحتمي وضمان قابلية عكس المصفوفة ضمن بنية قائمة على الرسم البياني.

يضع المؤلفون هذا الإطار كبديل عملي يجسد الفجوة بين البساطة الرياضية لـ "التشفيرات الكلاسيكية" ومتطلبات الأمان لحماية البيانات الحديثة. ومع الإقرار بأن أبعاد المصفوفة الكبيرة تزيد من العبء الحسابي أثناء فك التشفير، تؤكد الدراسة أن النظام، بالنسبة للأبعاد المتوسطة (تحديداً $n$ بين 9 و99)، يوفر توازناً جيداً بين التحويل التشفيري القوي وكفاءة التنفيذ. ويُقدم هذا العمل كخطوة نحو تطوير التشفير القائم على الرسم البياني لتطبيقات التخزين الآمن والأمن الرقمي في العالم الحقيقي، متميزاً عن التنفيذات الحالية المخصصة للنصوص أو الصور فقط.