Evolving finite elements for advection diffusion with an evolving interface

Technische Zusammenfassung: Sich entwickelnde Finite-Elemente für Advektion-Diffusion mit einer sich bewegenden Grenzfläche

Problemstellung
Dieser Beitrag behandelt die numerische Approximation parabolischer Gleichungen, die auf einem stationären Gebiet $\Omega$ definiert sind und eine bewegliche Grenzfläche $\Gamma(t)$ enthalten. Die Grenzfläche unterteilt das Gebiet in zwei Teilgebiete, $\Omega_1(t)$ und $\Omega_2(t)$. Die zugrundeliegenden Gleichungen modellieren den Transport und die Diffusion von skalaren Feldern $u_1$ und $u_2$ innerhalb dieser Teilgebiete unter folgenden Bedingungen:

• Advektions-Diffusions-Reaktions-Dynamik innerhalb jedes Teilgebiets mit zeitabhängigen Koeffizienten ($A_i, B_i, C_i$).
• Eine Dirichlet-Randbedingung am äußeren Rand $\partial\Omega$.
• Stetigkeit der Lösung über die Grenzfläche hinweg ($u_1 = u_2$).
• Ein vorgegebener Sprung im Fluss über die Grenzfläche ($A_1 \partial_{\nu} u_1 - A_2 \partial_{\nu} u_2 = g$).

Die identifizierten Hauptherausforderungen sind die zeitliche Entwicklung der Teilgebiete und das Vorhandensein eines Flusssprungs über die bewegliche Grenzfläche. Obwohl Anwendungen in der Strömungsmechanik, den Materialwissenschaften und der Zellbiologie existieren, konzentriert sich der Beitrag auf die mathematische und numerische Formulierung des Problems.

Methodik
Die Autoren schlagen einen Arbitrary-Lagrangian-Eulerian (ALE)-Ansatz vor, der sich entwickelnde Finite-Elemente-Räume (ESFEM) nutzt, basierend auf dem in [21] etablierten abstrakten Rahmenwerk.

1. Funktionalanalytischer Rahmen: Das kontinuierliche Problem wird im Kontext sich entwickelnder Hilberträume formuliert. Die Autoren definieren kompatible Paare von Räumen $(X(t), \phi_t)$, wobei $\phi_t$ eine Flusstransformation ist, die Funktionen von einem Referenzgebiet auf das sich entwickelnde Gebiet transportiert. Dies ermöglicht die Definition schwacher materieller Ableitungen und die Herleitung einer wohlgestellten schwachen Formulierung (Satz 2.16).
2. Gitterkonstruktion:
   • Anfangsgitter: Das Gebiet wird initial mit stückweise linearen Simplexen trianguliert. Entscheidend ist, dass die Eckpunkte der Grenzflächenfacetten genau auf der initialen Grenzfläche $\Gamma(0)$ liegen (Annahme M5).
   • Isoparametrische Abbildung: Um eine Genauigkeit höherer Ordnung zu erreichen, wird das lineare Gitter mittels eines Diffeomorphismus $\Psi_h$ auf ein isoparametrisches Gitter abgebildet. Diese Abbildung verschiebt die Grenzflächenfacetten auf die exakte gekrümmte Grenzfläche $\Gamma(0)$, während die Gitterkontinuität erhalten bleibt.
   • Zeitliche Entwicklung: Das Gitter entwickelt sich durch die Bewegung der Lagrange-Knoten gemäß einem bekannten, glatten globalen Geschwindigkeitsfeld $w$. Die diskrete Flusstransformation $\Phi^h$ wird als polynomiale Interpolation der kontinuierlichen Flusstransformation konstruiert, wodurch sichergestellt wird, dass das Gitter zu allen Zeiten eine konforme zulässige Unterteilung bleibt.
3. Lift-Abbildung: Ein Lift-Operator $\Lambda_h$ wird eingeführt, um Funktionen vom diskreten Rechengebiet (welches die gekrümmte Grenzfläche approximiert) zurück auf das exakte kontinuierliche Gebiet abzubilden. Dies ist für den Vergleich der diskreten Lösung mit der exakten Lösung in der Fehleranalyse unerlässlich.
4. Diskretes Schema: Die Methode verwendet isoparametrische Finite-Elemente der Ordnung $k$. Das diskrete Variationsproblem wird unter Verwendung der diskreten materiellen Ableitung und der gelifteten Koeffizienten formuliert. Das Schema wird mit einem Zeitschrittverfahren gelöst (speziell Backward-Difference-Formeln, BDF, in den numerischen Experimenten).

Hauptbeiträge

• Wohlgestelltheit: Der Beitrag liefert eine rigorose funktionalanalytische Begründung, die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des kontinuierlichen Problems beweist (Satz 2.16), einschließlich zusätzlicher Regularitätsresultate unter spezifischen Annahmen an die Daten.
• Isoparametrisches ESFEM-Rahmenwerk: Die Autoren erweitern das abstrakte Rahmenwerk sich entwickelnder Finite-Elemente, um zweiseitige Grenzflächenprobleme mit Flusssprüngen zu behandeln. Sie detaillieren die Konstruktion isoparametrischer Elemente, die die gekrümmte Grenze genau approximieren und damit eine Konvergenz höherer Ordnung ermöglichen.
• Optimale Fehlerschranken: Das Haupttheoretische Ergebnis (Satz 5.1) etabliert optimale Fehlerschranken. Spezifisch ist der Fehler in der $L^2$-Norm durch $O(h^{k+1})$ beschränkt, und der Fehler in der $H^1$-Halbnorm ist durch $O(h^k)$ beschränkt, wobei $h$ die Gitterweite und $k$ der Polynomgrad ist. Diese Schranken gelten bis auf eine Konstante und entsprechen dem Interpolationsfehler einer bekannten glatten Lösung.
• Implementierung und Verifikation: Der Beitrag umfasst eine robuste Implementierung unter Verwendung des Firedrake-Pakets und GMSH. Numerische Experimente in 2D und 3D verifizieren die theoretischen Konvergenzraten für verschiedene Polynomordnungen.

Ergebnisse
Die numerischen Experimente demonstrieren die Effektivität der Methode an einem Modellproblem mit einer bekannten exakten Lösung, die über die Grenzfläche hinweg stetig, aber nicht differenzierbar ist.

• Konvergenz: Für eine räumliche Diskretisierung der Ordnung $k$ bestätigen die numerischen Ergebnisse eine Konvergenz der Ordnung $k+1$ in der $L^2$-Norm und der Ordnung $k$ in der $H^1$-Halbnorm.
• Robustheit: Die Ergebnisse gelten sowohl für 2D- als auch für 3D-Gebiete, selbst wenn die Gitter unabhängig voneinander generiert werden (anstatt durch uniforme Verfeinerung), was die Stabilität der Methode unterstreicht.
• Verfügbarkeit des Codes: Die Autoren stellen den Simulationscode bereit, um Reproduzierbarkeit und weitere Nutzung durch die Gemeinschaft zu ermöglichen.

Bedeutung und Umfang
Der Beitrag beansprucht, einen vollständigen theoretischen und praktischen Rahmen zur Lösung von Advektions-Diffusions-Problemen mit beweglichen Grenzflächen unter Verwendung von isoparametrischen Finite-Elementen höherer Ordnung bereitzustellen. Die Bedeutung liegt in der Überbrückung der Lücke zwischen der Theorie abstrakter sich entwickelnder Räume und der praktischen Implementierung für Grenzflächenprobleme mit Flusssprüngen.

Die Autoren halten einen bescheidenen Umfang bezüglich des Geschwindigkeitsfeldes ein: Sie gehen davon aus, dass ein globales, glattes Geschwindigkeitsfeld a priori gegeben ist. Sie stellen explizit fest, dass die Arbeit nicht behandelt, wie ein solches Geschwindigkeitsfeld berechnet wird (z. B. durch Re-Parametrisierung zur Verhinderung von Gitterverwicklungen), und verweisen darauf, dass solche Methoden in der Literatur existieren [8, 18, 19]. Ferner gilt, dass die Methode theoretisch auf gekoppelte PDE-Systeme anwendbar wäre, bei denen die Gebietsentwicklung Teil der Lösung ist, die aktuelle Analyse jedoch solche gekoppelten Probleme nicht abdeckt. Der Fokus bleibt strikt auf der Approximation des parabolischen Transmissionsproblems unter der Voraussetzung einer bekannten Gebietsentwicklung.