Evolving finite elements for advection diffusion with an evolving interface

技术摘要：具有演化界面的平流扩散演化有限元

问题陈述
本文针对定义在静止域 $\Omega$ 上的抛物型方程的数值逼近问题，该域包含一个移动界面 $\Gamma(t)$。该界面将域划分为两个子域 $\Omega_1(t)$ 和 $\Omega_2(t)$。控制方程描述了这两个子域内标量场 $u_1$ 和 $u_2$ 的输运与扩散，并受以下条件约束：

• 每个子域内具有时变系数（$A_i, B_i, C_i$）的平流 - 扩散 - 反应动力学。
• 外边界 $\partial\Omega$ 上的狄利克雷边界条件。
• 界面处的解连续性（$u_1 = u_2$）。
• 界面处给定的通量跳跃（$A_1 \partial_{\nu} u_1 - A_2 \partial_{\nu} u_2 = g$）。

识别出的主要挑战是子域随时间的演化以及移动界面上存在的通量跳跃。尽管该问题在流体力学、材料科学和细胞生物学中存在应用，但本文侧重于该问题的数学与数值表述。

方法论
作者提出了一种基于 [21] 中建立的抽象框架的任意拉格朗日 - 欧拉（ALE）方法，利用演化有限元空间（ESFEM）。

1. 泛函分析设定：连续问题在演化希尔伯特空间的背景下进行表述。作者定义了相容的空间对 $(X(t), \phi_t)$，其中 $\phi_t$ 是将函数从参考域输运到演化域的流程映射。这使得弱物质导数的定义以及适定弱形式（定理 2.16）的推导成为可能。
2. 网格构建：
   • 初始网格：域最初使用分段线性单纯形进行三角剖分。关键在于，界面面的顶点被约束在初始界面 $\Gamma(0)$ 上精确位置（假设 M5）。
   • 等参映射：为了实现高阶精度，线性网格通过微分同胚 $\Psi_h$ 映射为等参网格。该映射将界面面推至精确的弯曲界面 $\Gamma(0)$，同时保持网格的连续性。
   • 时间演化：网格通过根据已知的光滑全局速度场 $w$ 移动拉格朗日节点而演化。离散流 $\Phi^h$ 被构造为连续流的多项式插值，确保网格在所有时刻均为共形容许细分。
3. 提升映射：引入提升算子 $\Lambda_h$，将函数从离散计算域（近似弯曲界面）映射回精确连续域。这对于在误差分析中将离散解与精确解进行比较至关重要。
4. 离散格式：该方法采用 $k$ 阶等参有限元。离散变分问题利用离散物质导数和提升后的系数进行表述。该格式使用时间步进法求解（数值实验中具体采用后向差分公式，BDF）。

主要贡献

• 适定性：本文提供了严格的泛函分析设定，证明了连续问题解的存在性与唯一性（定理 2.16），包括在特定数据假设下的额外正则性结果。
• 等参 ESFEM 框架：作者将抽象的演化有限元框架扩展至处理具有通量跳跃的双侧界面问题。他们详细阐述了能够精确近似弯曲边界的等参单元构造，从而实现高阶收敛。
• 最优误差界：主要理论结果（定理 5.1）建立了最优阶误差界。具体而言，$L^2$ 范数中的误差界限为 $O(h^{k+1})$，$H^1$ 半范数中的误差界限为 $O(h^k)$，其中 $h$ 为网格尺寸，$k$ 为多项式次数。这些界限在常数范围内成立，并与已知光滑解的插值误差相匹配。
• 实现与验证：本文包含了使用 Firedrake 包和 GMSH 的稳健实现。二维和三维的数值实验验证了各种多项式阶数的理论收敛率。

结果
数值实验展示了该方法在一个具有已知精确解的模型问题上的有效性，该解在界面处连续但不可微。

• 收敛性：对于 $k$ 阶空间离散，数值结果证实了 $L^2$ 范数中 $k+1$ 阶的收敛性和 $H^1$ 半范数中 $k$ 阶的收敛性。
• 鲁棒性：结果在二维和三维域中均成立，即使网格是独立生成（而非通过均匀细化）的，这也表明了该方法的稳定性。
• 代码可用性：作者提供了仿真代码，以供社区复现和进一步使用。

意义与范围
本文声称提供了一个完整的理论和实践框架，用于使用高阶等参有限元求解具有移动界面的平流 - 扩散问题。其意义在于架起了抽象演化空间理论与具有通量跳跃的界面问题实际实现之间的桥梁。

作者在速度场方面保持了适度的范围：他们假设全局光滑速度场是先验给定的。他们明确指出，本文未涉及如何计算此类速度场（例如，通过重参数化以防止网格缠绕），并指出此类方法存在于文献 [8, 18, 19] 中。此外，虽然该方法理论上可应用于域演化作为解一部分的耦合偏微分方程组，但当前的分析并未涵盖此类耦合问题。重点严格局限于在已知域演化的前提下对抛物型传输问题的逼近。