Evolving finite elements for advection diffusion with an evolving interface

Résumé technique : Éléments finis évolutifs pour l'advection-diffusion avec une interface évolutive

Énoncé du problème
Ce papier traite de l'approximation numérique d'équations paraboliques définies sur un domaine stationnaire $\Omega$ contenant une interface mobile $\Gamma(t)$. L'interface divise le domaine en deux sous-domaines, $\Omega_1(t)$ et $\Omega_2(t)$. Les équations régissant le modèle décrivent le transport et la diffusion de champs scalaires $u_1$ et $u_2$ au sein de ces sous-domaines, soumis à :

• Des dynamiques d'advection-diffusion-réaction au sein de chaque sous-domaine avec des coefficients dépendant du temps ($A_i, B_i, C_i$).
• Une condition aux limites de Dirichlet sur la frontière extérieure $\partial\Omega$.
• La continuité de la solution à travers l'interface ($u_1 = u_2$).
• Un saut de flux prescrit à travers l'interface ($A_1 \partial_{\nu} u_1 - A_2 \partial_{\nu} u_2 = g$).

Les principaux défis identifiés sont l'évolution des sous-domaines au cours du temps et la présence d'un saut de flux à travers l'interface mobile. Bien que des applications existent en dynamique des fluides, en science des matériaux et en biologie cellulaire, ce papier se concentre sur la formulation mathématique et numérique du problème.

Méthodologie
Les auteurs proposent une approche Lagrangienne-Eulérienne Arbitraire (ALE) utilisant des Espaces d'Éléments Finis Évolutifs (ESFEM) basés sur le cadre abstrait établi dans [21].

1. Cadre d'analyse fonctionnelle : Le problème continu est formulé dans le contexte d'espaces de Hilbert évolutifs. Les auteurs définissent des paires d'espaces compatibles $(X(t), \phi_t)$ où $\phi_t$ est une application de flot transportant les fonctions d'un domaine de référence vers le domaine évolutif. Cela permet de définir des dérivées matérielles faibles et d'établir une formulation faible bien posée (Théorème 2.16).
2. Construction du maillage :
   • Maillage initial : Le domaine est initialement triangulé à l'aide de simplexes linéaires par morceaux. Crucialement, les sommets des facettes de l'interface sont contraints de se trouver exactement sur l'interface initiale $\Gamma(0)$ (Hypothèse M5).
   • Application isoparamétrique : Pour atteindre une précision d'ordre supérieur, le maillage linéaire est mappé vers un maillage isoparamétrique à l'aide d'un difféomorphisme $\Psi_h$. Cette application projette les facettes de l'interface sur l'interface courbe exacte $\Gamma(0)$ tout en préservant la continuité du maillage.
   • Évolution temporelle : Le maillage évolue en déplaçant les nœuds lagrangiens selon un champ de vitesse global, connu et lisse $w$. Le flot discret $\Phi^h$ est construit comme une interpolation polynomiale du flot continu, assurant que le maillage reste une subdivision admissible conforme à tout moment.
3. Application de relèvement : Un opérateur de relèvement $\Lambda_h$ est introduit pour mapper les fonctions du domaine de calcul discret (qui approxime l'interface courbe) vers le domaine continu exact. Ceci est essentiel pour comparer la solution discrète à la solution exacte dans l'analyse d'erreur.
4. Schéma discret : La méthode emploie des éléments finis isoparamétriques d'ordre $k$. Le problème variationnel discret est formulé en utilisant la dérivée matérielle discrète et les coefficients relevés. Le schéma est résolu à l'aide d'une méthode de pas de temps (spécifiquement les formules de différences rétrogrades, BDF, dans les expériences numériques).

Contributions clés

• Bien-posé : Le papier fournit un cadre d'analyse fonctionnelle rigoureux prouvant l'existence et l'unicité de la solution du problème continu (Théorème 2.16), incluant des résultats de régularité supplémentaires sous des hypothèses spécifiques sur les données.
• Cadre ESFEM isoparamétrique : Les auteurs étendent le cadre abstrait des éléments finis évolutifs pour traiter les problèmes d'interface à deux faces avec des sauts de flux. Ils détaillent la construction d'éléments isoparamétriques qui approximent avec précision la frontière courbe, permettant une convergence d'ordre supérieur.
• Bornes d'erreur optimales : Le résultat théorique principal (Théorème 5.1) établit des bornes d'erreur d'ordre optimal. Spécifiquement, l'erreur dans la norme $L^2$ est bornée par $O(h^{k+1})$, et l'erreur dans la semi-norme $H^1$ est bornée par $O(h^k)$, où $h$ est la taille du maillage et $k$ le degré polynomial. Ces bornes sont valables à une constante près et correspondent à l'erreur d'interpolation d'une solution lisse connue.
• Implémentation et vérification : Le papier inclut une implémentation robuste utilisant le package Firedrake et GMSH. Des expériences numériques en 2D et 3D vérifient les taux de convergence théoriques pour divers ordres polynomiaux.

Résultats
Les expériences numériques démontrent l'efficacité de la méthode sur un problème modèle avec une solution exacte connue qui est continue mais non différentiable à travers l'interface.

• Convergence : Pour une discrétisation spatiale d'ordre $k$, les résultats numériques confirment une convergence d'ordre $k+1$ dans la norme $L^2$ et d'ordre $k$ dans la semi-norme $H^1$.
• Robustesse : Les résultats valent pour les domaines 2D et 3D, même lorsque les maillages sont générés indépendamment (plutôt que par raffinement uniforme), indiquant la stabilité de la méthode.
• Disponibilité du code : Les auteurs fournissent le code de simulation pour permettre la reproductibilité et une utilisation ultérieure par la communauté.

Signification et portée
Le papier prétend fournir un cadre théorique et pratique complet pour résoudre les problèmes d'advection-diffusion avec des interfaces mobiles en utilisant des éléments finis isoparamétriques d'ordre élevé. La signification réside dans le pont établi entre la théorie abstraite des espaces évolutifs et l'implémentation pratique pour les problèmes d'interface avec des sauts de flux.

Les auteurs maintiennent une portée modeste concernant le champ de vitesse : ils supposent qu'un champ de vitesse global et lisse est donné a priori. Ils déclarent explicitement que le travail ne traite pas de la manière de calculer un tel champ de vitesse (par exemple, via une re-paramétrisation pour empêcher l'emmêlement du maillage), notant que de telles méthodes existent dans la littérature [8, 18, 19]. De plus, bien que la méthode puisse théoriquement s'appliquer à des systèmes d'EDP couplés où l'évolution du domaine fait partie de la solution, l'analyse actuelle ne couvre pas de tels problèmes couplés. L'accent reste strictement mis sur l'approximation du problème de transmission parabolique étant donnée une évolution de domaine connue.