Determining the Rolle function in Hermite interpolatory approximation by solving an appropriate differential equation

Technische Zusammenfassung: Bestimmung der Rolle-Funktion in der hermiteschen interpolatorischen Approximation

Problemstellung
Der Beitrag behandelt die Herausforderung, die Genauigkeit hermitescher interpolatorischer Approximationen zu verbessern. Während das Standard-Hermite-Polynom $H_{2n+1}(x)$ eine Funktion $f(x)$ und ihre Ableitung $f'(x)$ an $n+1$ Knoten interpoliert, wird der punktweise Fehler $\Delta(x | H_{2n+1})$ durch einen Term bestimmt, der die $(2n+2)$-te Ableitung von $f$, ausgewertet an einem unbekannten Punkt $\xi(x)$, beinhaltet, der als Rolle-Funktion bekannt ist. Das Kernproblem besteht darin, dass $\xi(x)$ im Allgemeinen unbekannt ist, was die direkte Berechnung oder Korrektur des Fehlerterms verhindert. Der Autor sucht nach einer Methode, um $\xi(x)$ numerisch zu bestimmen und so eine genauere Approximation von $f(x)$ zu ermöglichen.

Methodik
Die vorgeschlagene Methodik erweitert eine Technik, die zuvor auf die Lagrange-Interpolation angewendet wurde, auf den hermiteschen Fall. Der Ansatz umfasst folgende Schritte:

1. Herleitung einer Differentialgleichung: Ausgehend von der Standard-Fehlerformel für die hermitesche Interpolation differenziert der Autor den Fehlerterm nach $x$. Durch Anwendung der Kettenregel und Isolierung der Ableitung der Rolle-Funktion, $\frac{d\xi}{dx}$, wird eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung (ODE) hergeleitet. Diese ODE verknüpft $\frac{d\xi}{dx}$ mit den bekannten Funktionen $f(x)$, $H_{2n+1}(x)$ und deren Ableitungen sowie dem unbekannten $\xi(x)$.
2. Formulierung eines Anfangswertproblems: Um die ODE zu lösen, wird ein Anfangswert $\xi_z = \xi(x_z)$ an einem Punkt $x_z$ benötigt, der nahe an (aber nicht an) einem Interpolationsknoten liegt. Da der Fehler an den Knoten selbst null ist, kann $\xi$ dort nicht bestimmt werden. Der Autor wählt einen Punkt $x_z$ in der Nähe eines Knotens und löst die algebraische Fehlergleichung numerisch, um einen gültigen Anfangswert $\xi_z$ zu finden.
3. Numerische Lösung: Die hergeleitete ODE wird numerisch mit einer Runge-Kutta-Methode (RK) siebter Ordnung gelöst. Der Beitrag weist darauf hin, dass mehrere mathematische Lösungen für den Anfangswert existieren können; die korrekte wird basierend auf der Einschränkung ausgewählt, dass $\xi(x)$ strikt innerhalb des durch die Interpolationsknoten definierten Intervalls liegen muss ($x_0 < \xi(x) < x_n$).
4. Fehlerkorrektur: Sobald $\xi(x)$ bestimmt ist, wird der Term $f^{(2n+2)}(\xi(x))$ in der Fehlerformel bekannt. Der Autor approximiert diesen Term mittels eines Polynoms $H_\xi(x)$ (durch Least-Squares-Anpassung oder kubische Splines). Dieses Polynom wird mit dem Knotenfaktor $\prod (x-x_k)^2$ multipliziert und durch $(2n+2)!$ dividiert, um ein Fehlerpolynom $E(x)$ zu bilden.
5. Verfeinerte Approximation: Die finale, verbesserte Approximation wird durch Addition des Fehlerpolynoms zum ursprünglichen Hermite-Polynom konstruiert: $f(x) \approx H_{2n+1}(x) + E(x)$.

Hauptergebnisse
Die Methodik wurde an der Funktion $f(x) = e^x \sin x$ über den Knoten $\{0, 3\pi/2\}$ (wobei $n=1$) getestet.

• Bestimmung der Rolle-Funktion: Die numerische Lösung erzeugte erfolgreich eine Rolle-Funktion $\xi(x)$, die die Intervallbeschränkungen erfüllte. Die numerische Lösung der ODE wurde durch den Vergleich der linken und rechten Seite der Fehlergleichung verifiziert, wobei sich zeigte, dass diese im Wesentlichen nicht unterscheidbar waren.
• Genauigkeitsverbesserung:
  • Das ursprüngliche Hermite-Polynom $H_3(x)$ wies einen maximalen Approximationsfehler von 7,04 auf.
  • Durch Hinzufügen eines Fehlerpolynoms $E(x)$, das aus einer Least-Squares-Anpassung vom Grad 11 abgeleitet wurde, wurde der maximale Fehler auf $7,3 \times 10^{-8}$ reduziert.
  • Die Verwendung eines kubischen Splines zur Generierung der Approximation des Ableitungsterms reduzierte den maximalen Fehler weiter auf ungefähr $10^{-12}$.
• Erhaltung der interpolatorischen Eigenschaften: Der Beitrag verifiziert, dass die korrigierte Approximation $H_{2n+1}(x) + E(x)$ die ursprünglichen hermiteschen interpolatorischen Eigenschaften beibehält und sowohl die Funktionswerte als auch die Ableitungswerte an den Knoten übereinstimmen.
• Numerische Integration: Der Beitrag demonstriert kurz, dass die Integration des korrigierten Polynoms über das Intervall ein deutlich genaueres Ergebnis liefert (Fehler $\sim 3 \times 10^{-12}$) im Vergleich zur Integration des ursprünglichen Hermite-Polynoms (Fehler $\sim 0,7$).

Bedeutung und Behauptungen
Der Beitrag behauptet, dass die Bestimmung der Rolle-Funktion über ein Anfangswertproblem eine explizite Approximation des punktweisen Fehlers in der hermiteschen Interpolation ermöglicht. Die primäre Bedeutung liegt in der Fähigkeit, eine neue polynomiale Approximation zu konstruieren, die um Größenordnungen genauer ist als das Standard-Hermite-Polynom, während die ursprünglichen Interpolationsbedingungen strikt eingehalten werden.

Der Autor weist darauf hin, dass die Genauigkeit des Endergebnisses derzeit durch die Präzision der RK-Methode begrenzt ist, die zur Lösung nach $\xi(x)$ verwendet wird, und schlägt vor, dass zukünftige Arbeiten sich auf die Fehlerkontrolle innerhalb des RK-Lösers konzentrieren könnten. Der Beitrag schließt, dass diese Technik, die auf früheren Arbeiten zur Lagrange-Interpolation aufbaut, substantielles Potenzial zur Verbesserung der Qualität numerischer Approximationen zeigt.