Determining the Rolle function in Hermite interpolatory approximation by solving an appropriate differential equation

Resumen Técnico: Determinación de la Función de Rolle en la Aproximación Interpolatoria de Hermite

Enunciado del Problema
El artículo aborda el desafío de mejorar la precisión de las aproximaciones interpolatorias de Hermite. Mientras que el polinomio de Hermite estándar $H_{2n+1}(x)$ interpola una función $f(x)$ y su derivada $f'(x)$ en $n+1$ nodos, el error puntual $\Delta(x | H_{2n+1})$ está gobernado por un término que involucra la derivada $(2n+2)$-ésima de $f$ evaluada en un punto desconocido $\xi(x)$, conocido como la función de Rolle. El problema central es que $\xi(x)$ es generalmente desconocido, lo que impide el cálculo o la corrección directa del término de error. El autor busca un método para determinar $\xi(x)$ numéricamente para facilitar una aproximación más precisa de $f(x)$.

Metodología
La metodología propuesta extiende una técnica aplicada previamente a la interpolación de Lagrange al caso de Hermite. El enfoque implica los siguientes pasos:

1. Derivación de una Ecuación Diferencial: Partiendo de la fórmula de error estándar para la interpolación de Hermite, el autor deriva el término de error con respecto a $x$. Al aplicar la regla de la cadena y aislar la derivada de la función de Rolle, $\frac{d\xi}{dx}$, se deriva una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de primer orden. Esta EDO relaciona $\frac{d\xi}{dx}$ con las funciones conocidas $f(x)$, $H_{2n+1}(x)$ y sus derivadas, así como con el desconocido $\xi(x)$.
2. Formulación del Problema de Valor Inicial: Para resolver la EDO, se requiere un valor inicial $\xi_z = \xi(x_z)$ en un punto $x_z$ cercano a (pero no en) un nodo de interpolación. Dado que el error es cero en los propios nodos, $\xi$ no puede determinarse allí. El autor selecciona un punto $x_z$ cerca de un nodo y resuelve numéricamente la ecuación algebraica de error para encontrar un $\xi_z$ inicial válido.
3. Solución Numérica: La EDO derivada se resuelve numéricamente utilizando un método de Runge-Kutta (RK) de séptimo orden. El artículo señala que pueden existir múltiples soluciones matemáticas para el valor inicial; la correcta se selecciona basándose en la restricción de que $\xi(x)$ debe estar estrictamente dentro del intervalo definido por los nodos de interpolación ($x_0 < \xi(x) < x_n$).
4. Corrección del Error: Una vez determinado $\xi(x)$, el término $f^{(2n+2)}(\xi(x))$ en la fórmula de error se vuelve conocido. El autor aproxima este término utilizando un polinomio $H_\xi(x)$ (mediante ajuste por mínimos cuadrados o splines cúbicos). Este polinomio se multiplica por el factor nodal $\prod (x-x_k)^2$ y se divide por $(2n+2)!$ para formar un polinomio de error $E(x)$.
5. Aproximación Refinada: La aproximación final, mejorada, se construye sumando el polinomio de error al polinomio de Hermite original: $f(x) \approx H_{2n+1}(x) + E(x)$.

Resultados Clave
La metodología se probó sobre la función $f(x) = e^x \sin x$ en los nodos $\{0, 3\pi/2\}$ (donde $n=1$).

• Determinación de la Función de Rolle: La solución numérica generó exitosamente una función de Rolle $\xi(x)$ que satisfizo las restricciones del intervalo. La solución numérica de la EDO se verificó comparando los lados izquierdo y derecho de la ecuación de error, mostrando que eran esencialmente indistinguibles.
• Mejora de la Precisión:
  • El polinomio de Hermite original $H_3(x)$ exhibió un error máximo de aproximación de 7.04.
  • Al agregar un polinomio de error $E(x)$ derivado de un ajuste por mínimos cuadrados de grado 11, el error máximo se redujo a $7.3 \times 10^{-8}$.
  • Utilizar un spline cúbico para generar la aproximación del término derivado redujo aún más el error máximo a aproximadamente $10^{-12}$.
• Preservación de las Propiedades Interpolatorias: El artículo verifica que la aproximación corregida $H_{2n+1}(x) + E(x)$ conserva las propiedades interpolatorias originales de Hermite, coincidiendo tanto con los valores de la función como con los valores de las derivadas en los nodos.
• Integración Numérica: El artículo demuestra brevemente que integrar el polinomio corregido sobre el intervalo produce un resultado significativamente más preciso (error de $\sim 3 \times 10^{-12}$) en comparación con integrar el polinomio de Hermite original (error de $\sim 0.7$).

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma que determinar la función de Rolle mediante un problema de valor inicial permite la aproximación explícita del error puntual en la interpolación de Hermite. El significado principal radica en la capacidad de construir una nueva aproximación polinómica que es órdenes de magnitud más precisa que el polinomio de Hermite estándar, manteniendo estrictamente las condiciones de interpolación originales.

El autor señala que la precisión del resultado final está actualmente limitada por la precisión del método RK utilizado para resolver $\xi(x)$, sugiriendo que el trabajo futuro podría centrarse en el control de errores dentro del solver RK. El artículo concluye que esta técnica, basada en trabajos previos en interpolación de Lagrange, demuestra un potencial sustancial para mejorar la calidad de la aproximación numérica.