Determining the Rolle function in Hermite interpolatory approximation by solving an appropriate differential equation

技术摘要：确定埃尔米特插值逼近中的罗尔函数

问题陈述
本文探讨了提高埃尔米特插值逼近精度的挑战。虽然标准埃尔米特多项式 $H_{2n+1}(x)$ 在 $n+1$ 个节点处对函数 $f(x)$ 及其导数 $f'(x)$ 进行插值，但点误差 $\Delta(x | H_{2n+1})$ 由一项主导，该项涉及在未知点 $\xi(x)$ 处评估的 $f$ 的 $(2n+2)$ 阶导数，该点被称为罗尔函数。核心问题在于 $\xi(x)$ 通常是未知的，这阻碍了对误差项的直接计算或修正。作者寻求一种数值方法来确定 $\xi(x)$，以促进对 $f(x)$ 更精确的逼近。

方法论
所提出的方法论将此前应用于拉格朗日插值的技术扩展到了埃尔米特情形。该方法包含以下步骤：

1. 微分方程的推导：从埃尔米特插值的标准误差公式出发，作者对误差项关于 $x$ 求导。通过应用链式法则并分离罗尔函数的导数 $\frac{d\xi}{dx}$，推导出了一个一阶常微分方程（ODE）。该 ODE 将 $\frac{d\xi}{dx}$ 与已知函数 $f(x)$、$H_{2n+1}(x)$ 及其导数，以及未知的 $\xi(x)$ 联系起来。
2. 初值问题 formulation：为了求解该 ODE，需要在靠近（但不等于）插值节点的点 $x_z$ 处确定一个初始值 $\xi_z = \xi(x_z)$。由于在节点本身处误差为零，$\xi$ 无法在那里确定。作者选择一个靠近节点的点 $x_z$，并通过数值求解代数误差方程来找到一个有效的初始值 $\xi_z$。
3. 数值求解：推导出的 ODE 使用七阶龙格 - 库塔（RK）方法进行数值求解。论文指出，初始值可能存在多个数学解；根据 $\xi(x)$ 必须严格位于由插值节点定义的区间内（$x_0 < \xi(x) < x_n$）这一约束条件，选择正确的解。
4. 误差修正：一旦确定了 $\xi(x)$，误差公式中的项 $f^{(2n+2)}(\xi(x))$ 便变为已知。作者使用多项式 $H_\xi(x)$（通过最小二乘拟合或三次样条）来逼近该项。将该多项式乘以节点因子 $\prod (x-x_k)^2$ 并除以 $(2n+2)!$，从而构成误差多项式 $E(x)$。
5. 改进的逼近：最终的改进逼近是通过将误差多项式加到原始埃尔米特多项式上构建的：$f(x) \approx H_{2n+1}(x) + E(x)$。

关键结果
该方法在节点 $\{0, 3\pi/2\}$（其中 $n=1$）上的函数 $f(x) = e^x \sin x$ 上进行了测试。

• 罗尔函数的确定：数值解成功生成了一个满足区间约束的罗尔函数 $\xi(x)$。通过比较误差方程的左右两边，验证了 ODE 的数值解，结果显示两者本质上无法区分。
• 精度的提升：
  • 原始埃尔米特多项式 $H_3(x)$ 表现出 7.04 的最大逼近误差。
  • 通过添加一个由 11 次最小二乘拟合导出的误差多项式 $E(x)$，最大误差降低至 $7.3 \times 10^{-8}$。
  • 使用三次样条生成导数项的逼近，进一步将最大误差降低至约 $10^{-12}$。
• 插值性质的保持：论文验证了修正后的逼近 $H_{2n+1}(x) + E(x)$ 保留了原始的埃尔米特插值性质，即在节点处匹配函数值和导数值。
• 数值积分：论文简要展示了，在区间上积分修正后的多项式所得到的结果比积分原始埃尔米特多项式（误差约为 0.7）要准确得多（误差约为 $\sim 3 \times 10^{-12}$）。

意义与主张
本文声称，通过初值问题确定罗尔函数，使得埃尔米特插值中的点误差显式逼近成为可能。其主要意义在于能够构建一个新的多项式逼近，其精度比标准埃尔米特多项式高出数个数量级，同时严格保持原始的插值条件。

作者指出，最终结果的精度目前受限于用于求解 $\xi(x)$ 的 RK 方法的精度，建议未来的工作可专注于 RK 求解器内部的误差控制。论文结论认为，这项建立在拉格朗日插值先前工作基础上的技术，展示了提高数值逼近质量的巨大潜力。