PID Parameters Optimization by Using Genetic Algorithm

Resumen Técnico: Optimización de Parámetros PID mediante Algoritmos Genéticos

Planteamiento del Problema
Los retardos temporales son componentes inherentes en sistemas físicos, químicos, biológicos y económicos, así como en procesos de medición y computación. Estos retardos introducen desfases que pueden reducir significativamente la estabilidad de los sistemas de fase mínima. Si bien trabajos previos de los autores demostraron que el Método Iterativo y la regla de Ziegler-Nichols podrían sintonizar eficazmente controladores PID para sistemas de Primer Orden con Retardo (FOLPD, por sus siglas en inglés), estos métodos presentan limitaciones. Específicamente, requieren que el sistema se retire de línea para su reajuste, lo que los hace inadecuados para plantas dinámicas donde los parámetros cambian constantemente y es necesario un reajuste en tiempo real. Este artículo aborda el desafío de optimizar los parámetros del controlador PID para compensar los retardos temporales en sistemas FOLPD utilizando un método capaz de manejar espacios de búsqueda complejos y no lineales sin requerir paradas fuera de línea del sistema.

Metodología
Los autores proponen la implementación de un Algoritmo Genético (GA) para determinar los parámetros óptimos del controlador PID ($K_p, K_i, K_d$). El estudio utiliza el Matlab Genetic Algorithm Toolbox y sigue un enfoque estructurado:

• Modelado del Sistema: El componente de retardo temporal se aproxima mediante una serie de Respuesta de Frecuencia Directa (DFR) de segundo orden. Los autores seleccionaron DFR sobre la aproximación de Pade estándar (utilizada en el Control Systems Toolbox de Matlab) porque la DFR demostró el menor error promedio en comparaciones previas y permite una representación de serie polinómica adecuada para la construcción de la función de transferencia del GA.
• Funciones Objetivo: Para evaluar la aptitud (fitness) de cada cromosoma, el estudio emplea cinco índices de desempeño: la Media del Error Cuadrático (MSE), la Integral del Valor Absoluto del Error (IAE), la Integral del Error Cuadrático (ISE), la Integral del Tiempo multiplicado por el Error Absoluto (ITAE) y la Integral del Tiempo multiplicado por el Error Cuadrático (ITSE). El valor de aptitud se define como el recíproco del valor del índice de desempeño.
• Configuración del GA:
  • Codificación: Se utiliza la codificación de número real para los tres parámetros PID para evitar la pérdida de precisión asociada con la codificación binaria.
  • Población: Se utiliza un tamaño de población de 80 a 100 cromosomas, donde cada cromosoma contiene los valores de $K_d, K_p, K_i$ y un valor de aptitud.
  • Límites: Los límites de los valores de los parámetros no se establecen arbitrariamente, sino que se restringen con base en los rangos encontrados en los resultados del Método Iterativo y la regla de Ziegler-Nichols para asegurar la convergencia.
  • Operadores: Se utiliza la Selección Geométrica Normalizada para la selección de progenitores. Se aplica el cruce aritmético con cuatro puntos de cruce para acomodar los tres alelos. La probabilidad de mutación se establece baja (0.1%) para evitar que la búsqueda decaiga en un proceso aleatorio.
  • Terminación: El algoritmo se ejecuta durante un máximo de 300 generaciones, un límite determinado al observar que no ocurre una mejora visible más allá de este punto.

Resultos Clave
Los controladores PID optimizados por GA se compararon contra el Método Iterativo y la regla de Ziegler-Nichols a través de varios retardos temporales (de 0.01 a 1 segundo). Los resultados se analizaron utilizando medidas de desempeño estándar e índices de desempeño.

• Medidas de Desempeño Estándar:

  • Sobreimpulso Porcentual (Percent Overshoot): Los métodos GA redujeron significamente el sobreimpulso porcentual en comparación con los otros dos métodos. El sobreimpulso promedio para GA fue aproximadamente del 10%, frente al 38% de Ziegler-Nichols y el 15% del Método Iterativo. La optimización por el criterio IAE produjo los mejores resultados (6%).
  • Tiempo de Asentamiento (Settling Time): La optimización por GA mediante ITAE e IAE mostró mejoras (0.745s y 1.01s, respectivamente) en comparación con los otros métodos (aprox. 1.5s). Sin embargo, otras variaciones de GA no mostraron una mejora significativa sobre las reglas de sintonización.
  • Tiempo de Subida y Tiempo de Pico (Rise Time and Peak Time): Los métodos GA produjeron resultados similares a la regla de Ziegler-Nichols y fueron generalmente peores que el Método Iterativo en términos de tiempo de subida. El Método Iterativo mostró el peor tiempo de pico (3.43s), mientras que GA y Ziegler-Nichols fueron comparables (aprox. 0.57s–0.83s).
  • Margen de Estabilidad (Stability Margin): Los métodos GA resultaron en un margen de estabilidad ligeramente reducido en comparación con los métodos de sintonización, lo que indica un posible compromiso donde la mejora en la respuesta transitoria tiene como costo la reducción de los márgenes de estabilidad.

• Índices de Desempeño:

  • Como era de esperar, los métodos GA produjeron los valores promedio más pequeños para los cinco índices de desempeño (MSE, IAE, ISE, ITAE, ITSE) en todo el rango de retardo probado.
  • La regla de Ziegler-Nichols generalmente produjo valores de índice de desempeño más pequeños que el Método Iterativo.
  • Aunque el GA minimizó consistentemente los criterios de error, la magnitud de la mejora sobre los métodos de sintonización no siempre fue "impresionante", excepto en el caso de la función objetivo ITAE, donde la diferencia aumentó con el retardo temporal.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo concluye que la aplicación de Algoritmos Genéticos para la sintonización de controladores PID en sistemas FOLPD ofrece ventajas distintivas en la respuesta transitoria, específicamente logrando una reducción en el sobreimpulso porcentual de más del 70% en comparación con la regla de Ziegler-Nichols y de más del 30% en comparación con el Método Iterativo. El enfoque de GA mantiene tiempos de subida y de pico comparables con los mejores métodos tradicionales, mientras mejora el tiempo de asentamiento en configuraciones específicas.

Sin embargo, los autores mantienen una postura modesta respecto a la superioridad general del GA. Señalan que, si bien el GA minimiza los criterios de error de manera efectiva, las diferencias en los índices de desempeño en comparación con las reglas de sintonización tradicionales no siempre son lo suficientemente sustanciales como para afirmar definitivamente que el GA es "mucho mejor" en todos los aspectos. Además, el estudio destaca una limitación crítica: problemas de convergencia. En los experimentos, 2 de 45 casos no lograron alcanzar la convergencia. Los autores reconocen que, aunque establecer límites de valores basados en métodos de sintonización existentes mejora la probabilidad de convergencia, esto restringe inherentemente el espacio de búsqueda, descartando potencialmente la posibilidad de encontrar resultados óptimos fuera de esos rangos establecidos. Por lo tanto, aunque el GA es una herramienta viable para el reajuste en tiempo real en sistemas dinámicos donde los métodos fuera de línea fallan, su aplicación requiere una consideración cuidadosa de la confiabilidad de la convergencia y el compromiso entre el desempeño transitorio y los márgenes de estabilidad.