PID Parameters Optimization by Using Genetic Algorithm

Resumo Técnico: Otimização de Parâmetros PID Utilizando Algoritmo Genético

Definição do Problema
Atrasos de tempo são componentes inerentes em sistemas físicos, químicos, biológicos e econômicos, bem como em processos de medição e computação. Esses atrasos introduzem defasagens que podem reduzir significativamente a estabilidade de sistemas de fase mínima. Embora o trabalho anterior dos autores tenha demonstrado que o Método Iterativo e a regra de Ziegler-Nichols poderiam sintonizar efetivamente controladores PID para sistemas de Primeiro Ordem com Atraso (FOLPD), esses métodos possuem limitações. Especificamente, eles exigem que o sistema seja retirado de operação para o novo ajuste, tornando-os inadequos para plantas dinâmicas onde os parâmetros mudam constantemente e o novo ajuste em tempo real é necessário. Este artigo aborda o desafio de otimizar os parâmetros do controlador PID para compensar os atrasos de tempo em sistemas FOLPD usando um método capaz de lidar com espaços de busca complexos e não lineares sem exigir desligamentos do sistema.

Metodologia
Os autores propõem a implementação de um Algoritmo Genético (AG) para determinar os parâmetros ideais do controlador PID ($K_p, K_i, K_d$). O estudo utiliza o Matlab Genetic Algorithm Toolbox e segue uma abordagem estruturada:

• Modelagem do Sistema: O componente de atraso de tempo é aproximado usando uma série de Resposta de Frequência Direta (DFR) de segunda ordem. Os autores selecionaram a DFR em vez da aproximação de Pade padrão (usada no Control Systems Toolbox do Matlab) porque a DFR demonstrou o menor erro médio em comparações anteriores e permite uma representação de série polinomial adequada para a construção da função de transferência do AG.
• Funções Objetivo: Para avaliar o fitness de cada cromossomo, o estudo emprega cinco índices de desempenho: Média do Erro Quadrático (MSE), Integral do Módulo Absoluto do Erro (IAE), Integral do Erro Quadrático (ISE), Integral do Tempo multiplicado pelo Erro Absoluto (ITAE) e Integral do Tempo multiplicado pelo Erro Quadrático (ITSE). O valor de fitness é definido como o recíproco do valor do índice de desempenho.
• Configuração do AG:
  • Codificação: É utilizada a codificação de número real para os três parâmetros PID para evitar a perda de precisão associada à codificação binária.
  • População: É utilizada uma população de 80 a 100 cromossomos, onde cada cromossomo contém os valores de $K_d, K_p, K_i$ e um valor de fitness.
  • Limites: Os limites dos valores dos parâmetros não são definidos arbitrariamente, mas são restringidos com base nos intervalos encontrados nos resultados do Método Iterativo e da regra de Ziegler-Nichols para garantir a convergência.
  • Operadores: A Seleção Geométrica Normalizada é usada para a seleção de pais. O crossover aritmético é aplicado com quatro pontos de cruzamento para acomodar os três alelos. A probabilidade de mutação é definida como baixa (0,1%) para evitar que a busca se torne um processo aleatório.
  • Terminação: O algoritmo executa por um máximo de 300 gerações, um limite determinado pela observação de que não ocorre melhoria visível além deste ponto.

Principais Resultados
Os controladores PID otimizados por AG foram comparados com o Método Iterativo e a regra de Ziegler-Nichols através de vários atrasos de tempo (0,01 a 1 segundo). Os resultados foram analisados utilizando medidas de desempenho padrão e índices de desempenho.

• Medidas de Desempenho Padrão:

  • Sobressinal (Overshoot) Percentual: Os métodos de AG reduziram significativamente o sobressinal percentual em comparação com os outros dois métodos. O sobressal médio para o AG foi de aproximadamente 10%, comparado a 38% para Ziegler-Nichols e 15% para o Método Iterativo. A otimização pelo critério IAE rendeu os melhores resultados (6%).
  • Tempo de Assentamento: A otimização por AG via ITAE e IAE mostrou melhorias (0,745s e 1,01s, respectivamente) em comparação com os outros métodos (aprox. 1,5s). No entanto, outras variações de AG não mostraram melhoria significativa sobre as regras de sintonia.
  • Tempo de Subida e Tempo de Pico: Os métodos de AG produziram resultados semelhantes à regra de Ziegler-Nichols e foram geralmente piores que o Método Iterativo em termos de tempo de subida. O Método Iterativo apresentou o pior tempo de pico (3,43s), enquanto o AG e Ziegler-Nichols foram comparáveis (aprox. 0,57s–0,83s).
  • Margem de Estabilidade: Os métodos de AG resultaram em uma margem de estabilidade ligeiramente reduzida em comparação com os métodos de sintonia, indicando um possível trade-off onde a melhoria na resposta transitória ocorre ao custo de margens de estabilidade reduzidas.

• Índices de Desempenho:

  • Como esperado, os métodos de AG produziram os menores valores médios para todos os cinco índices de desempenho (MSE, IAE, ISE, ITAE, ITSE) em todo o intervalo de atraso testado.
  • A regra de Ziegler-Nichols geralmente produziu valores de índice de desempenho menores do que o Método Iterativo.
  • Embora o AG tenha minimizado consistentemente os critérios de erro, a magnitude da melhoria sobre os métodos de sintonia nem sempre foi "impressionante", exceto no caso da função objetivo ITAE, onde a diferença aumentou com o atraso de tempo.

Significância e Alegações
O artigo conclui que a aplicação de Algoritmos Genéticos para a sintonia de controladores PID para sistemas FOLPD oferece vantagens distintas na resposta transitória, especificamente alcançando uma redução no sobressinal percentual de mais de 70% em relação à regra de Ziegler-Nichols e mais de 30% em relação ao Método Iterativo. A abordagem de AG mantém o tempo de subida e o tempo de pico comparáveis aos melhores métodos tradicionais, enquanto melhora o tempo de assentamento em configurações específicas.

No entanto, os autores mantêm uma postura modesta quanto à superioridade geral do AG. Eles observam que, embora o AG minimize efetivamente os critérios de erro, as diferenças de desempenho nos índices de desempenho em relação às regras de sintonia tradicionais nem sempre são substanciais o suficiente para afirmar definitivamente que o AG é "muito melhor" em todos os aspectos. Além disso, o estudo destaca uma limitação crítica: problemas de convergência. Nos experimentos, 2 de 45 casos não atingiram a convergência. Os autores reconhecem que, embora a definição de limites de valores baseada em métodos de sintonia existentes melhore a probabilidade de convergência, isso inerentemente restringe o espaço de busca, potencialmente descartando a possibilidade de encontrar resultados ótimos fora desses intervalos estabelecidos. Assim, embora o AG seja uma ferramenta viável para o novo ajuste em tempo real em sistemas dinâmicos onde os métodos offline falham, sua aplicação requer consideração cuidadosa da confiabilidade da convergência e do trade-off entre o desempenho transitório e as margens de estabilidade.