PID Parameters Optimization by Using Genetic Algorithm

Résumé technique : Optimisation des paramètres PID par algorithme génétique

Énoncé du problème
Les retards de temps sont des composantes inhérentes aux systèmes physiques, chimiques, biologiques et économiques, ainsi qu'aux processus de mesure et de calcul. Ces délais introduisent des déphasages qui peuvent réduire considérablement la stabilité des systèmes à phase minimale. Bien que les travaux précédents des auteurs aient démontré que la méthode itérative et la règle de Ziegler-Nichols pouvaient efficacement régler les contrôleurs PID pour les systèmes de type premier ordre avec retard (FOLPD), ces méthodes présentent des limites. Plus précisément, elles nécessitent que le système soit mis hors ligne pour un nouveau réglage, ce qui les rend inadaptées aux usines dynamiques où les paramètres changent constamment et où un nouveau réglage en temps réel est nécessaire. Cet article traite du défi de l'optimisation des paramètres du contrôleur PID pour compenser les retards de temps dans les systèmes FOLPD à l'aide d'une méthode capable de gérer des espaces de recherche complexes et non linéaires sans nécessiter d'arrêts hors ligne du système.

Méthodologie
Les auteurs proposent la mise en œuvre d'un algorithme génétique (AG) pour déterminer les paramètres optimaux du contrôleur PID ($K_p, K_i, K_d$). L'étude utilise la Matlab Genetic Algorithm Toolbox et suit une approche structurée :

• Modélisation du système : La composante de retard de temps est approximée par une série de réponse en fréquence directe (DFR) de second ordre. Les auteurs ont choisi la DFR plutôt que l'approximation de Pade standard (utilisée dans la Matlab Control Systems Toolbox) car la DFR a démontré l'erreur moyenne la plus faible lors de comparaisons antérieures et permet une représentation en série polynomiale adaptée à la construction de la fonction de transfert de l'AG.
• Fonctions d'objectif : Pour évaluer la fitness de chaque chromosome, l'étude emploie cinq indices de performance : la moyenne de l'erreur quadratique (MSE), l'intégrale de la magnitude absolue de l'erreur (IAE), l'intégrale de l'erreur au carré (ISE), l'intégrale du temps multiplié par l'erreur absolue (ITAE) et l'intégrale du temps multiplié par l'erreur au carré (ITSE). La valeur de la fitness est définie comme l'inverse de la valeur de l'indice de performance.
• Configuration de l'AG :
  • Codage : Un codage par nombres réels est utilisé pour les trois paramètres PID afin d'éviter la perte de précision associée au codage binaire.
  • Population : Une population de 80 à 100 chromosomes est utilisée, chaque chromosome contenant les valeurs $K_d, K_p, K_i$ et une valeur de fitness.
  • Bornes : Les bornes des valeurs des paramètres ne sont pas fixées arbitrairement mais sont contraintes sur la base des plages trouvées dans les résultats de la méthode itérative et de la règle de Ziegler-Nichols afin d'assurer la convergence.
  • Opérateurs : La sélection géométrique normalisée est utilisée pour la sélection des parents. Le croisement arithmétique est appliqué avec quatre points de croisement pour accommoder les trois allèles. La probabilité de mutation est fixée basement (0,1 %) pour empêcher la recherche de dégénérer en un processus aléatoire.
  • Terminaison : L'algorithme s'exécute pour un maximum de 300 générations, une limite déterminée par l'observation qu'aucune amélioration visible ne se produit au-delà de ce point.

Résultats clés
Les contrôleurs PID optimisés par AG ont été comparés à la méthode itérative et à la règle de Ziegler-Nichols à travers divers retards de temps (0,01 à 1 seconde). Les résultats ont été analysés à l'aide de mesures de performance standard et d'indices de performance.

• Mesures de performance standard :

  • Dépassement en pourcentage (Percent Overshoot) : Les méthodes AG ont considérablement réduit le dépassement en pourcentage par rapport aux deux autres méthodes. Le dépassement moyen pour l'AG était d'environ 10 %, contre 38 % pour Ziegler-Nichols et 15 % pour la méthode itérative. L'optimisation par le critère IAE a donné les meilleurs résultats (6 %).
  • Temps de stabilisation (Settling Time) : L'optimisation par l'AG via ITAE et IAE a montré des améliorations (0,745 s et 1,01 s, respectivement) par rapport aux autres méthodes (environ 1,5 s). Cependant, d'autres variations de l'AG n'ont pas montré d'amélioration significative par rapport aux règles de réglage.
  • Temps de montée et Temps de pic : Les méthodes AG ont produit des résultats similaires à la règle de Ziegler-Nichols et étaient généralement moins bonnes que la méthode itérative en termes de temps de montée. La méthode itérative présentait le pire temps de pic (3,43 s), tandis que l'AG et Ziegler-Nichols étaient comparables (environ 0,57 s – 0,83 s).
  • Marge de stabilité : Les méthodes AG ont entraîné une marge de stabilité légèrement réduite par rapport aux méthodes de réglage, indiquant un compromis potentiel où l'amélioration de la réponse transitoire se fait au détriment de la réduction des marges de stabilité.

• Indices de performance :

  • Comme prévu, les méthodes AG ont produit les plus petites valeurs moyennes pour les cinq indices de performance (MSE, IAE, ISE, ITAE, ITSE) sur toute la plage de retard testée.
  • La règle de Ziegler-Nichols a généralement produit des valeurs d'indices de performance plus petites que la méthode itérative.
  • Bien que l'AG minimise systématiquement les critères d'erreur, l'ampleur de l'amélioration par rapport aux méthodes de réglage n'a pas toujours été « impressionnante », sauf dans le cas de la fonction objectif ITAE où la différence augmente avec le retard de temps.

Signification et Revendications
L'article conclut que l'application des algorithmes génétiques au réglage des contrôleurs PID pour les systèmes FOLPD offre des avantages distincts en matière de réponse transitoire, spécifiquement en atteignant une réduction du dépassement en pourcentage de plus de 70 % par rapport à la règle de Ziegler-Nichols et de plus de 30 % par rapport à la méthode itérative. L'approche par AG maintient un temps de montée et un temps de pic comparables aux meilleures méthodes traditionnelles tout en améliorant le temps de stabilisation dans des configurations spécifiques.

Cependant, les auteurs maintiennent une position modeste concernant la supériorité globale de l'AG. Ils notent que bien que l'AG minimise efficacement les critères d'erreur, les différences de performance par rapport aux règles de réglage traditionnelles ne sont pas toujours assez substantielles pour affirmer de manière définitive que l'AG est « bien meilleure » sous tous les aspects. De plus, l'étude souligne une limitation critique : les problèmes de convergence. Dans les expériences, 2 cas sur 45 n'ont pas réussi à converger. Les auteurs reconnaissent que si le paramétrage des bornes de valeurs basé sur les méthodes de réglage existantes améliore la probabilité de convergence, cela restreint intrinsèquement l'espace de recherche, écartant potentiellement la possibilité de trouver des résultats optimaux en dehors de ces plages établies. Ainsi, bien que l'AG soit un outil viable pour le nouveau réglage en temps réel dans les systèmes dynamiques où les méthodes hors ligne échouent, son application nécessite une considération attentive de la fiabilité de la convergence et du compromis entre la performance transitoire et les marges de stabilité.