On the Boucksom-Zariski decomposition for irreducible symplectic varieties and bounded negativity

Resumen Técnico: Descomposición de Boucksom-Zariski y Acotación de Negatividad en Variedades Simples Simétricas Irreducibles

1. Planteamiento del Problema

La descomposición de Zariski es una herramienta fundamental en la teoría de superficies algebraicas, permitiendo descomponer un divisor efectivo en una parte "positiva" (nef) y una parte "negativa" (excepcional). En dimensiones superiores, esta descomposición no siempre existe o es difícil de caracterizar.

El problema central de este trabajo se divide en dos vertientes:

1. Generalización de la Descomposición: ¿Existe una descomposición de Zariski (específicamente la caracterizada por Boucksom mediante formas cuadráticas) para variedades con singularidades simplécticas (no solo variedades suaves)?
2. Acotación de Denominadores y Conjetura de Negatividad Acotada: En superficies, existe una relación estrecha entre la acotación de los coeficientes de la descomposición de Zariski y la conjetura de negatividad acotada (que postula que las auto-intersecciones de curvas irreducibles están acotadas inferiormente). El objetivo es establecer si un fenómeno análogo ocurre en variedades simplécticas irreducibles (ISV) proyectivas y obtener cotas efectivas para los denominadores de los coeficientes de la descomposición.

2. Metodología y Marco Teórico

A. Definición de la Forma Cuadrática en el Caso Singular
Para abordar el caso singular, los autores extienden la definición de la forma cuadrática de Beauville-Bogomolov-Fujiki ($q_X$) a divisores de Weil en variedades con singularidades simplécticas.

• Singularidades Simplécticas: Se consideran variedades normales $X$ donde la forma simpléctica en el lugar regular se extiende a cualquier resolución de singularidades.
• Extensión a Divisores de Weil: Dado que las variedades pueden no ser $\mathbb{Q}$-factoriales, los autores definen la forma cuadrática $q_{X,\sigma}$ sobre divisores de Weil utilizando una resolución de singularidades $\pi: Y \to X$. Se define una aplicación de "cierre" ($\pi^\dagger$) que lleva un divisor de Weil en $X$ a una clase de homología en $Y$, permitiendo evaluar la forma cuadrática definida en la resolución.
• Propiedad Clave: Demuestran que esta forma cuadrática se comporta como un producto de intersección (es decir, la intersección de dos divisores primos distintos es no negativa), lo cual es el requisito técnico esencial para la existencia de la descomposición de Zariski.

B. Estrategia de Prueba para la Descomposición
Siguiendo el enfoque de Bauer para superficies, los autores demuestran que si existe una forma cuadrática que actúa como producto de intersección en el grupo de clases de divisores, entonces toda clase de divisor pseudoefectivo admite una descomposición única.

• Utilizan el hecho de que en el lugar regular (o en una resolución), la forma $q_{X,\sigma}$ es no degenerada y tiene la firma adecuada $(3, b_2-3)$.
• Establecen que la descomposición es única y que la parte positiva es nef respecto a $q_{X,\sigma}$, mientras que la parte negativa es $q_{X,\sigma}$-excepcional (su matriz de Gram es definida negativa).

C. Acotación de Denominadores y Negatividad
Para obtener cotas efectivas en el caso proyectivo suave:

1. Conexión con la Negatividad Acotada: Utilizan un argumento similar al de superficies: si las auto-intersecciones de los divisores primos están acotadas inferiormente, entonces los denominadores de los coeficientes en la descomposición de Zariski están acotados.
2. Límite Inferior para Divisores Excepcionales: Se basan en resultados previos de Druel y Markman sobre la geometría de los divisores primos excepcionales en ISV. Demuestran que la auto-intersección $q(E)$ de cualquier divisor primo excepcional $E$ está acotada inferiormente por $4 \cdot \text{Card}(A_X)$, donde $A_X$ es el grupo discriminante finito del retículo de cohomología $H^2(X, \mathbb{Z})$.
3. Cálculo Combinatorio: Aplican la regla de Cramer al sistema de ecuaciones lineales que define los coeficientes de la parte negativa. Dado que la matriz de Gram es definida negativa y sus entradas están acotadas, el determinante (y por tanto el denominador) está acotado factorialmente.

3. Resultados Principales

Teorema 1.1 (Existencia Generalizada):
Para cualquier variedad Kähler compacta $X$ con singularidades simplécticas y una 2-forma reflexiva $\sigma$ simpléctica en el lugar regular, todo divisor de Weil $\mathbb{Q}$-efectivo admite una descomposición de Zariski única (Boucksom-Zariski):
$$D = P(D) + N(D)$$
donde:

• $P(D)$ es nef respecto a $q_{X,\sigma}$.
• $N(D)$ es excepcional (matriz de Gram definida negativa).
• $q_{X,\sigma}(P(D), N(D)) = 0$.
• Se cumple una propiedad de sobreyectividad de secciones globales para múltiplos enteros.
• Nota: Esto generaliza el resultado de Boucksom de variedades suaves a la categoría más amplia de variedades con singularidades simplécticas.

Teorema 1.2 (Cota Efectiva para Denominadores):
Para una variedad simpléctica irreducible proyectiva suave $X$ de número de Picard $\rho(X)$, los denominadores de los coeficientes de las partes positiva y negativa de la descomposición de Boucksom-Zariski de cualquier divisor Cartier pseudoefectivo están acotados por:
$$(4 \cdot \text{Card}(A_X))^{\rho(X)-1}!$$
donde $\text{Card}(A_X)$ es el cardinal del grupo discriminante $H^2(X, \mathbb{Z})^\vee / H^2(X, \mathbb{Z})$.

Corolario 1.3 (Birracionalidad Efectiva):
Como consecuencia directa, se obtiene una cota explícita para la birracionalidad de haces de líneas grandes. Si $L$ es un haz de líneas grande en una ISV suave de dimensión $2n$, el sistema lineal $|mL|$ define un mapa birracional para todo:
$$m \geq \frac{1}{2}(2n+2)(2n+3)(4 \cdot \text{Card}(A_X))^{\rho(X)-1}!$$
Esto responde afirmativamente y de manera efectiva a una pregunta planteada por F. Charles.

4. Contribuciones Clave

1. Marco de Singularidades: Se establece la validez de la descomposición de Boucksom-Zariski en el marco más general posible: variedades con singularidades simplécticas (no necesariamente $\mathbb{Q}$-factoriales ni suaves). Esto es crucial para el Programa de Modelos Mínimos (MMP), donde las variedades resultantes suelen ser singulares.
2. Analogía Superficial en Dimensión Superior: Se demuestra que, a pesar de la mayor complejidad geométrica, las ISV se comportan análogamente a las superficies K3 en lo que respecta a la teoría de series lineales, siempre que se sustituya el producto de intersección por la forma de Beauville-Bogomolov-Fujiki.
3. Cotas Explícitas: A diferencia de resultados anteriores que garantizan la existencia de una cota (pero no la calculan), este trabajo proporciona una fórmula explícita que depende de invariantes topológicos ($\text{Card}(A_X)$) y geométricos ($\rho(X)$).
4. Resolución de la Pregunta de Charles: Se proporciona una respuesta efectiva a la cuestión de la birracionalidad de haces grandes en ISV, superando resultados previos que solo garantizaban la acotación de manera no constructiva.

5. Significado e Impacto

• Teoría de Modelos Mínimos: La extensión de la descomposición de Zariski a variedades singulares es un paso necesario para aplicar técnicas de superficies a variedades de dimensión superior en el contexto del MMP.
• Geometría de Variedades Simplécticas: Los resultados refuerzan la idea de que las ISV son el análogo de dimensión superior de las superficies K3, compartiendo propiedades profundas sobre la estructura de sus divisores y series lineales.
• Aplicabilidad Computacional: La naturaleza explícita de las cotas permite, en principio, verificar la birracionalidad de sistemas lineales en ejemplos concretos de ISV (como espacios de móduli de haces en superficies K3 o variedades de Kummer generalizadas), algo que antes era teóricamente posible pero computacionalmente inaccesible.
• Generalización Futura: El trabajo sienta las bases para extender estos resultados a variedades primitivas simplécticas singulares (como se menciona en la adenda del artículo, extendido posteriormente en [43]), consolidando la teoría de divisores en el mundo de las variedades con singularidades.

En conclusión, el artículo unifica la teoría de descomposición de divisores en el contexto singular y proporciona herramientas cuantitativas precisas para el estudio de la birracionalidad en variedades simplécticas irreducibles, cerrando brechas teóricas importantes entre la geometría de superficies y la de dimensiones superiores.