On the Boucksom-Zariski decomposition for irreducible symplectic varieties and bounded negativity

1. Problématique et Contexte

La décomposition de Zariski est un outil fondamental dans la théorie des séries linéaires sur les surfaces algébriques. Elle permet de décomposer un diviseur effectif $D$ en une partie "positive" $P$ (nef) et une partie "négative" $N$ (exceptionnelle), telle que $D = P + N$. Cette décomposition préserve les sections globales : $H^0(X, \mathcal{O}_X(mD)) \cong H^0(X, \mathcal{O}_X(mP))$ pour $m$ suffisamment divisible.

L'article s'intéresse à la généralisation de cette notion aux variétés symplectiques irréductibles (manifolds ou variétés singulières) de dimension supérieure.

• Contexte lisse : Boucksom a déjà établi une caractérisation de la décomposition de Zariski pour les variétés symplectiques lisses en utilisant la forme quadratique de Beauville-Bogomolov-Fujiki ($q_X$).
• Contexte singulier : Les variétés symplectiques singulières (apparaissant dans le programme des modèles minimaux, les espaces de modules de faisceaux, etc.) posent des défis techniques, notamment l'absence de factorialité de type $\mathbb{Q}$ et la définition de la forme quadratique sur des diviseurs de Weil non-Cartier.
• Conjecture de négativité bornée : Sur les surfaces, la borne des coefficients de la décomposition de Zariski est liée à la conjecture de négativité bornée (bornitude des auto-intersections négatives des courbes irréductibles). L'objectif est de voir si une relation analogue existe en dimension supérieure pour les variétés symplectiques et d'obtenir des bornes effectives.

2. Méthodologie

Les auteurs adoptent une approche combinant géométrie birationnelle, théorie des singularités symplectiques et analyse des formes quadratiques.

1. Extension aux variétés singulières :

   • Ils définissent la décomposition de Zariski dans le cadre le plus large possible : les variétés compactes Kähleriennes à singularités symplectiques (au sens de Beauville).
   • Pour contourner le problème de la non-factorialité de type $\mathbb{Q}$ (où les composantes irréductibles d'un diviseur $\mathbb{Q}$-Cartier peuvent ne pas être $\mathbb{Q}$-Cartier), ils étendent la définition de la forme quadratique $q_{X,\sigma}$ aux diviseurs de Weil.
   • Ils utilisent une résolution de singularités $\pi: Y \to X$ et la restriction à un ouvert $U = X \setminus \Sigma_0$ (où $\Sigma_0$ est le lieu dissident, de codimension $\ge 4$). La forme est définie via la dualité de Poincaré de la fermeture du diviseur restreint à $U$.

2. Preuve de l'existence de la décomposition :

   • Ils montrent que la forme quadratique $q_{X,\sigma}$ se comporte comme un produit d'intersection sur l'espace des diviseurs de Weil (c'est-à-dire que l'intersection de deux diviseurs premiers distincts est non négative).
   • En s'appuyant sur les travaux de Bauer et sur le fait que cette propriété suffit à garantir l'existence d'une décomposition de Zariski (théorème de [7]), ils établissent l'existence et l'unicité de la décomposition pour les diviseurs $\mathbb{Q}$-de Weil effectifs.

3. Bornitude effective (Bounded Negativity) :

   • Ils établissent un lien entre la borne des dénominateurs dans la décomposition de Zariski et la borne inférieure des auto-intersections $q_X(E, E)$ des diviseurs exceptionnels irréductibles.
   • Ils utilisent des résultats profonds de Druel et Markman sur la géométrie des diviseurs exceptionnels dans les variétés symplectiques projectives.
   • Ils prouvent que pour une variété projective symplectique irréductible lisse, l'auto-intersection d'un diviseur irréductible est minorée par $4 \cdot \text{Card}(A_X)$, où $A_X$ est le groupe de discriminant fini de $H^2(X, \mathbb{Z})$.

3. Résultats Principaux

A. Décomposition de Boucksom-Zariski en présence de singularités (Théorème 1.1)

Pour toute variété Kählérienne compacte $X$ à singularités symplectiques et tout diviseur de Weil $\mathbb{Q}$-effectif $D$, il existe une décomposition unique :
$$D = P(D) + N(D)$$
telle que :

1. $P(D)$ est $q_{X,\sigma}$-nef.
2. $N(D)$ est $q_{X,\sigma}$-exceptionnelle (sa matrice de Gram est définie négative).
3. $q_{X,\sigma}(P(D), N(D)) = 0$.
4. L'application naturelle $H^0(X, \mathcal{O}_X(kP(D))) \twoheadrightarrow H^0(X, \mathcal{O}_X(kD))$ est surjective pour $k$ tel que les diviseurs soient entiers.
   Note : Cela généralise le résultat de Boucksom au cas singulier et aux diviseurs de Weil.

B. Bornitude des dénominateurs (Théorème 1.2 et Corollaire 4.10)

Pour une variété projective symplectique irréductible lisse $X$ de nombre de Picard $\rho(X)$, les dénominateurs des coefficients de la partie négative (et positive) de la décomposition de Boucksom-Zariski de tout diviseur Cartier pseudo-effectif sont bornés par :
$$(4 \cdot \text{Card}(A_X))^{\rho(X)-1}!$$
où $\text{Card}(A_X)$ est l'ordre du groupe de discriminant $H^2(X, \mathbb{Z})^\vee / H^2(X, \mathbb{Z})$.
Ce résultat repose sur la preuve que $|q(E)| \le 4 \cdot \text{Card}(A_X)$ pour tout diviseur exceptionnel irréductible $E$.

C. Birationalité effective (Corollaire 1.3)

En combinant la borne sur les dénominateurs avec des résultats d'Angehrn-Siu et Kollár, les auteurs déduisent un résultat de birationalité effective. Soit $L$ un fibré en droites gros sur une variété symplectique irréductible lisse de dimension $2n$. Alors, pour tout entier $m$ vérifiant :
$$m \ge \frac{1}{2}(2n+2)(2n+3)(4 \cdot \text{Card}(A_X))^{\rho(X)-1}!$$
le système linéaire $|mL|$ définit un morphisme birationnel sur son image.
Signification : Cela répond positivement et de manière explicite à une question posée par F. Charles. Contrairement à des résultats antérieurs (comme ceux de Birkar sur les variétés de Calabi-Yau) qui garantissent l'existence d'une telle borne sans la donner explicitement, ici la borne est calculable.

4. Signification et Impact

• Généralisation théorique : L'article établit que la décomposition de Zariski, outil clé en dimension 2, reste valide et bien comportée dans le cadre large des variétés symplectiques à singularités, en utilisant la forme de Beauville-Bogomolov-Fujiki comme substitut au produit d'intersection.
• Outils effectifs : La contribution majeure est la passage du qualitatif au quantitatif. En fournissant une borne explicite pour les dénominateurs, les auteurs permettent de contrôler précisément le comportement des séries linéaires sur ces variétés.
• Réponse à une question ouverte : La réponse explicite à la question de Charles sur la birationalité effective des fibrés gros sur les variétés symplectiques lisses est un résultat concret important pour la géométrie birationnelle de ces espaces.
• Lien avec la négativité bornée : L'article valide l'analogie entre les surfaces et les variétés symplectiques de dimension supérieure concernant la conjecture de négativité bornée, en montrant que les auto-intersections négatives sont effectivement bornées par des invariants topologiques (le groupe de discriminant).

En résumé, ce travail consolide la théorie des variétés symplectiques singulières et fournit des bornes effectives cruciales pour l'étude de leur géométrie birationnelle.