Reduced rank in $σ[M]$

Resumen Técnico: Rango Reducido en $\sigma[M]$

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la extensión del concepto de "rango reducido", introducido originalmente por Goldie para anillos Goldie semiprimos de la izquierda, al contexto más amplio de la teoría de módulos de la categoría $\sigma[M]$. En la teoría clásica de anillos, el rango reducido caracteriza a los órdenes por la izquierda en anillos artinianos por la izquierda y se basa en la dimensión de los módulos sobre el anillo clásico de cocientes. Mientras que trabajos previos extendieron esto a anillos arbitrarios utilizando el radical primo y teorías de torsión herediteras, este artículo busca generalizar la noción a los módulos $M$ dentro de la categoría $\sigma[M]$ (la subcategoría completa de $R$-Mod consistentes en módulos subgenerados por $M$). El problema central es definir un "rango reducido finito" significativo para un módulo $M$ en la categoría $\sigma[M]$, determinar las propiedades estructurales de tales módulos y establecer condiciones bajo las cuales el anillo de endomorfismos de $M$ se convierte en un orden en un anillo artiniano, generalizando así el Teorema de Small.

Metodología
Los autores emplean el marco de las teorías de torsión herediteras dentro de la categoría de Grothendieck $\sigma[M]$. La metodología consiste en:

1. Submódulos Primos y Radicales: Utilizar el concepto de submódulos primos (introducido por Raggi et al.) para definir el radical primo de un módulo, denotado como $L(M)$, como la intersección de todos los submódulos primos.
2. Teorías de Torsión: Definir teorías de torsión herediteras específicas. La teoría primaria, denotada como $\gamma$, es cogenerada por la envoltura $M$-inyectiva de $M/L(M)$. Otra teoría, $\tau_g$, es cogenerada por la envoltura $M$-inyectiva de $M$ mismo.
3. Categorías de Cociente: Analizar la estructura de la categoría de cociente $\sigma[M]/\gamma$ y el módulo de cocientes $Q_\gamma(M)$. El artículo investiga cuándo $Q_\gamma(M)$ tiene longitud finita en esta categoría de cociente, lo cual sirve como la definición de "rango reducido finito" para $M$.
4. Anillos de Endomorfismos: Examinar la relación entre el módulo $M$, su anillo de endomorfismos $S = \text{End}_R(M)$, y el anillo de endomorfismos de su módulo de cocientes $T = \text{End}_R(Q_\gamma(M))$.
5. Condiciones de Ore: Investigar si el conjunto $C(N)$ de endomorfismos que inducen monomorfismos en $M/N$ forma un conjunto de Ore por la derecha, un paso crucial para establecer las propiedades de orden.

Contribuciones Clave y Resultados

• Definición de Rango Reducido Finito en $\sigma[M]$:
  El artículo define que un módulo $M$ tiene rango reducido finito en $\sigma[M]$ si el módulo de cocientes $Q_\gamma(M)$ tiene longitud finita en la categoría de cociente $\sigma[M]/\gamma$, donde $\gamma$ es la teoría de torsión cogenerada por $E[M](M/L(M))$.

• Caracterización mediante Propiedades de Retículo:
  El Teorema 4.5 establece que para un generador proyectivo $M$ en $\sigma[M]$, tener rango reducido finito es equivalente a:

1. Que el conjunto de submódulos $\gamma$-saturados que satisfacen la condición de la cadena ascendente (ACC).
2. Que $M/L(M)$ sea un módulo Goldie semiprimo.
3. La existencia de $k > 0$ tal que $L(M)^k \subseteq \gamma(M)$.
4. Que $M/A$ tenga dimensión uniforme finita para cualquier $A \in \text{Sat}_\gamma(M)$.

• Propiedades Estructurales de la Categoría de Cociente:
  Cuando $M$ es un módulo Goldie semiprimo y proyectivo en $\sigma[M]$, se demuestra que la categoría de cociente $\sigma[M]/\tau_g$ (cogenerada por $E[M](M)$) es una categoría espectral discreta equivalente a $\text{Mod-End}_R(\widehat{M})$, donde $\widehat{M}$ es la envoltura $M$-inyectiva de $M$. En este contexto, $Q_{\tau_g}(M)$ es semisimple de longitud finita.

• Invarianza y Preservación:
  Se muestra que la propiedad de tener rango reducido finito se preserva bajo:

• Equivalencias entre categorías de tipo $\sigma[M]$ (invarianza de Morita).

• Sumas directas y sumandos directos (bajo condiciones específicas, por ejemplo, si $\text{Hom}_R(L, N) = 0$).

• Anillos de esquina: Si $R$ tiene rango reducido finito y $e$ es un idempotente semicentral por la derecha, entonces $eRe$ tiene rango reducido finito.

• Generalización del Teorema de Small:
  El resultado principal del artículo (Teorema 5.7) generaliza el Teorema de Small al contexto de módulos. Demuestra que para un generador proyectivo $M$ en $\sigma[M]$ con anillo de endomorfismos $S$, lo siguiente es equivalente:

1. $M$ tiene rango reducido finito en $\sigma[M]$ y $C(L(M)) \subseteq C(0)$ (es decir, los endomorfismos que inducen monomorfismos en $M/L(M)$ son monomorfismos en $M$).
2. $T = \text{End}_R(Q_\gamma(M))$ es un anillo artiniano y $S$ es un orden por la derecha en $T$.

• Implicaciones de la Dimensión de Krull:
  Los autores muestran que si un generador proyectivo $M$ en $\sigma[M]$ tiene dimensión de Krull, entonces su radical primo $L(M)$ es nilpotente y, consecuentemente, $M$ tiene rango reducido finito en $\sigma[M]$.

Significado
El artículo afirma proporcionar un marco unificado para comprender el rango reducido que se extiende más allá de la teoría clásica de anillos hacia módulos arbitrarios dentro de la categoría $\sigma[M]$. Al caracterizar el rango reducido finito a través de las propiedades del radical primo y la estructura de la categoría de cociente, los autores extienden el Teorema de Small, el cual tradicionalmente vincula la propiedad de ser un orden en un anillo artiniano con la existencia de un anillo de cocientes clásico. Los resultados demuestran que la invarianza de Morita del rango reducido finito se mantiene en este entorno generalizado y proporcionan condiciones específicas bajo las cuales los anillos de endomorfismos de los módulos se comportan como órdenes en anillos artinianos. Este trabajo cierra la brecha entre la teoría de los módulos Goldie y la teoría más amplia de los órdenes en anillos artinianos, ofreciendo una perspectiva de módulos sobre los resultados clásicos de la teoría de anillos.