Reduced rank in $σ[M]$

Resumo Técnico: Posto Reduzido em $\sigma[M]$

Enunciado do Problema
O artigo aborda a extensão do conceito de "posto reduzido", originalmente introduzido por Goldie para anéis Goldie semiprimos à esquerda, para o contexto moduloteórico mais amplo da categoria $\sigma[M]$. Na teoria clássica de anéis, o posto reduzido caracteriza ordens à esquerda em anéis artinianos à esquerda e baseia-se na dimensão de módulos sobre o anel clássico de quocientes. Embora trabalhos anteriores tenham estendido isso para anéis arbitrários usando o radical primo e teorias de torção hereditárias, este artigo busca generalizar a noção para módulos $M$ dentro da categoria $\sigma[M]$ (a subcategoria completa de $R\text{-Mod}$ consistindo de módulos subgerados por $M$). O problema central é definir um "posto reduzido finito" significativo para um módulo $M$ em $\sigma[M]$, determinar as propriedades estruturais de tais módulos e estabelecer condições sob as quais o anel de endomorfismos de $M$ torna-se uma ordem em um anel artiniano, estabelecendo assim uma generalização do Teorema de Small.

Metodologia
Os autores empregam o arcabouço de teorias de torção hereditárias dentro da categoria de Grothendieck $\sigma[M]$. A metodologia envolve:

1. Submódulos Primos e Radicais: Utilização do conceito de submódulos primos (introduzido por Raggi et al.) para definir o radical primo de um módulo, denotado por $L(M)$, como a interseção de todos os submódulos primos.
2. Teorias de Torção: Definição de teorias de torção hereditárias específicas. A teoria primária, denotada por $\gamma$, é cogenerada pelo envelope $M$-injetor de $M/L(M)$. Outra teoria, $\tau_g$, é cogenerada pelo envelope $M$-injetor de $M$ propriamente dito.
3. Categorias de Quociente: Análise da estrutura da categoria de quociente $\sigma[M]/\gamma$ e do módulo de quocientes $Q_\gamma(M)$. O artigo investiga quando $Q_\gamma(M)$ possui comprimento finito nesta categoria de quociente, o que serve como a definição de "posto reduzido finito" para $M$.
4. Anéis de Endomorfismos: Exame da relação entre o módulo $M$, seu anel de endomorfismos $S = \text{End}_R(M)$, e o anel de endomorfismos de seu módulo de quocientes $T = \text{End}_R(Q_\gamma(M))$.
5. Condições de Ore: Investigação do conjunto $C(N)$ de endomorfismos que induzem monomorfismos em $M/N$ para determinar se eles formam um conjunto de Ore à direita, um passo crucial para estabelecer propriedades de ordem.

Contribuições Principais e Resultados

• Definição de Posto Reduzido Finito em $\sigma[M]$:
  O artigo define que um módulo $M$ possui posto reduzido finito em $\sigma[M]$ se o módulo de quocientes $Q_\gamma(M)$ possui comprimento finito na categoria de quociente $\sigma[M]/\gamma$, onde $\gamma$ é a teoria de torção cogenerada por $E[M](M/L(M))$.

• Caracterização via Propriedades de Lattices (Reticulados):
  O Teorema 4.5 estabelece que, para um gerador projetivo $M$ em $\sigma[M]$, possuir posto reduzido finito é equivalente a:

1. O conjunto de submódulos $\gamma$-saturados satisfaz a condição de cadeia ascendente (ACC).
2. $M/L(M)$ ser um módulo Goldie semiprimo.
3. A existência de $k > 0$ tal que $L(M)^k \subseteq \gamma(M)$.
4. $M/A$ possuir dimensão uniforme finita para qualquer $A \in \text{Sat}_\gamma(M)$.

• Propriedades Estruturais da Categoria de Quociente:
  Quando $M$ é um módulo Goldie semiprimo e projetivo em $\sigma[M]$, a categoria de quociente $\sigma[M]/\tau_g$ (cogenerada por $E[M](M)$) é provada como sendo uma categoria espectral discreta equivalente a $\text{Mod-End}_R(\widehat{M})$, onde $\widehat{M}$ é o envelope $M$-injetor de $M$. Neste contexto, $Q_{\tau_g}(M)$ é semissimples de comprimento finito.

• Invariância e Preservação:
  A propriedade de possuir posto reduzido finito é mostrada como sendo preservada sob:

• Equivalências entre categorias do tipo $\sigma[M]$ (invariância de Morita).

• Somas diretas e somandos (sob condições específicas, ex: se $\text{Hom}_R(L, N) = 0$).

• Anéis de canto (corner rings): Se $R$ possui posto reduzido finito e $e$ é um idempotente semicentral à direita, então $eRe$ possui posto reduzido finito.

• Generalização do Teorema de Small:
  O principal resultado do artigo (Teorema 5.7) generaliza o Teorema de Small para o contexto modular. Ele prova que, para um gerador projetivo $M$ em $\sigma[M]$ com anel de endomorfismos $S$, as seguintes condições são equivalentes:

1. $M$ possui posto reduzido finito em $\sigma[M]$ e $C(L(M)) \subseteq C(0)$ (ou seja, endomorfismos que induzem monomorfismos em $M/L(M)$ são monomorfismos em $M$).
2. $T = \text{End}_R(Q_\gamma(M))$ é um anel artiniano e $S$ é uma ordem à direita em $T$.

• Implicações da Dimensão de Krull:
  Os autores mostram que, se um gerador projetivo $M$ em $\sigma[M]$ possui dimensão de Krull, então seu radical primo $L(M)$ é nilpotente e, consequentemente, $M$ possui posto reduzido finito em $\sigma[M]$.

Significância
O artigo afirma fornecer um arcabouço unificado para compreender o posto reduzido que se estende além da teoria clássica de anéis para módulos arbitrários dentro da categoria $\sigma[M]$. Ao caracterizar o posto reduzido finito através das propriedades do radical primo e da estrutura da categoria de quociente, os autores estendem o Teorema de Small, que tradicionalmente liga a propriedade de ser uma ordem em um anel artiniano à existência de um anel clássico de quocientes. Os resultados demonstram que a invariância de Morita do posto reduzido finito se mantém neste cenário generalizado e fornecem condições específicas sob as quais os anéis de endomorfismos de módulos comportam-se como ordens em anéis artinianos. Este trabalho preenche a lacuna entre a teoria dos módulos Goldie e a teoria mais ampla de ordens em anéis artinianos, oferecendo uma perspectiva moduloteórica de resultados clássicos da teoria de anéis.