Density estimates and the fractional Sobolev inequality for sets of zero $s$-mean curvature

Resumen Técnico: Estimaciones de Densidad y la Desigualdad de Sobolev Fraccional para Conjuntos de Curvatura Media s-Nula

Enunciado del Problema
El artículo aborda una laguna en la teoría de regularidad de superficies mínimas no locales. Si bien está bien establecido que los minimizadores del $s$-perímetro fraccional satisfacen estimaciones de densidad "gruesas" (densidad de volumen) y estimaciones de densidad superficial, el comportamiento de los conjuntos que son meramente estacionarios con respecto al $s$-perímetro (es decir, conjuntos con curvatura media $s$-nula, $H_{s,E} = 0$) es menos comprendido. Específicamente, era una cuestión abierta si los conjuntos de curvatura media $s$-nula satisfacen la estimación de densidad superficial:
$$\text{Per}(E; B_R(x)) \geq C R^{n-1}$$
para todo $R > 0$ y $x \in \partial^* E$, donde la constante $C$ depende únicamente de la dimensión $n$ y de $s$. En el caso clásico ($s=1$), esta estimación se cumple para conjuntos estacionarios, pero el contexto no local presenta desafíos porque las fórmulas de monotonía estándar para minimizadores no se extienden inmediatamente a conjuntos estacionarios sin suposiciones adicionales de estabilidad. Además, el artículo señala que, si bien existen estimaciones de densidad superior para conjuntos estables, las estimaciones de densidad inferior para conjuntos estacionarios generales no estaban explícitamente disponibles en la literatura.

Metodología
La prueba se basa en una combinación de desigualdades de interpolación, la técnica de extensión de Caffarelli-Silvestre y fórmulas de monotonía adaptadas al contexto no local. La metodología procede a través de los siguientes pasos:

1. Desigualdad de Interpolación (Sección 3): El autor establece una nueva desigualdad de interpolación (Teorema 3.1) que acota el $s$-perímetro restringido mediante una combinación del perímetro clásico y un término de error que involucra la norma $L^\infty$. Crucialmente, esta desigualdad incluye un término de error controlable $\varepsilon R^{n-s}$, lo que permite absorber el error en la estimación principal durante la prueba.
2. Extensión de Caffarelli-Silvestre (Sección 4): El artículo utiliza el problema de extensión asociado al Laplaciano fraccional. Para un conjunto $E$, se define una función $U_E$ en el semiespacio superior $\mathbb{R}^{n+1}_+$ tal que su traza se relaciona con la función característica de $E$.
   • Monotonía: Citando trabajo reciente de [CFSS24a], el artículo emplea una fórmula de monotonía para la cantidad $\Phi_{E,x}(R)$, que representa una energía de Dirichlet ponderada de la extensión $U_E$. Esta fórmula se cumple para conjuntos $s$-estacionarios, no solo para minimizadores.
   • Límite de Expansión (Blow-up): El autor demuestra que, cuando $R \to 0$, la cantidad de monotonía $\Phi_{E,x}(R)$ converge a una constante positiva determinada por el semiespacio $\mathbb{R}^n_+$. Este límite se calcula explícitamente utilizando funciones Gamma y sirve como cota inferior para la energía.
   • Control de Energía: Se establece una cota superior para $\Phi_{E,x}(R)$ en términos del $s$-perímetro restringido de $E$ (Proposición 4.2).
3. Síntesis (Sección 5): Al combinar la cota inferior (del límite de expansión y la monotonía) con la cota superior (de la estimación de energía de extensión) y la desigualdad de interpolación, el autor deriva una cadena de desigualdades. La elección específica del parámetro $\varepsilon$ en el paso de interpolación permite absorber los términos de error, obteniendo la cota inferior deseada sobre el perímetro clásico.

Resultados Clave

• Teorema 1.1: El resultado principal establece que si $E \subset \mathbb{R}^n$ es un conjunto medible con perímetro localmente finito y curvatura media $s$-nula ($H_{s,E} = 0$ en $\partial^* E$), entonces satisface la estimación de densidad superficial:
  $$\text{Per}(E; B_R) \geq C R^{n-1}$$
  para todo $R > 0$. La constante $C$ depende únicamente de $n$ y de una cota inferior para $s$, y permanece acotada cuando $s \to 1^-$.
• Corolario 1.2: Como aplicación directa, el artículo demuestra que la desigualdad de Sobolev fraccional se cumple en la frontera de dichos conjuntos. Específicamente, para $u \in C^\infty_0(\partial^* E)$, se cumple la desigualdad
  $$\|u\|_{L^{p^*}(\partial^* E)} \leq C [u]_{W^{\alpha, p}(\partial^* E)}$$
  donde $p^* = \frac{np}{n-\alpha p}$. Este resultado se basa en una proposición previa de [CC19] que mostró que la estimación de densidad superficial (1.2) implica la desigualdad de Sobolev sin requerir un término de curvatura media.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma proporcionar la primera prueba explícita de que los conjuntos de curvatura media $s$-nula satisfacen la estimación de densidad superficial (1.2), una propiedad conocida principalmente para minimizadores o conjuntos estables. El autor señala que, aunque técnicas relacionadas aparecen en trabajos de [CFSS24a], [CFSS24b] y [CSV19], la afirmación específica de esta estimación de densidad para conjuntos de curvatura media $s$-nula, y su conexión con la desigualdad de Sobolev fraccional en hipersuperficies, no había sido formulada explícitamente en la literatura.

El significado del resultado radica en extender las herramientas de regularidad del ámbito de los minimizadores a la clase más amplia de conjuntos estacionarios. Al establecer la estimación de densidad, el artículo permite la derivación de la desigualdad de Sobolev fraccional para estos conjuntos, que es una herramienta fundamental en el análisis geométrico. El autor afirma explícitamente que la cuestión de si las estimaciones de densidad de volumen "gruesas" (1.1) se cumplen para conjuntos de curvatura media $s$-nula permanece desconocida en toda generalidad, y el trabajo actual no resuelve esa pregunta específica, aunque señala que los contraejemplos clásicos (láminas y catenoides) no se traducen directamente al contexto no local de una manera que desmienta (1.1).